この公式のポイント
- まわり＝（1辺−1）×4（角を2回数えない）
- 中実方陣の全部＝1辺×1辺
- 中空方陣は長方形4つに分ける
- たて横1列ずつふやすと2n＋1 個ふえる
うかるくん
いちばん外側の個数は、1辺の個数×4じゃだめなの？
合格先生
それだと4つの角を2回数えてしまう。（1辺−1）×4 と分けて数えよう。
方陣算の公式
碁石などを正方形に並べたものを方陣といいます。中までぎっしりつまったものが中実方陣、中がからっぽで何列かのわくになっているものが中空方陣です。
方陣算の3つの公式
- いちばん外側（まわり）の個数＝（1辺の個数−1）×4
- 中実方陣の全部の個数＝1辺の個数×1辺の個数
- 中空方陣の全部の個数＝（外側の1辺の個数−列の数）×列の数×4
まわりの個数から1辺を出すとき：1辺の個数＝まわりの個数÷4＋1
なぜその式になるのか
まわりの個数＝（1辺−1）×4
1辺5個の正方形で「5×4＝20個」とすると、4つの角の石を2回ずつ数えてしまいます。そこで、上の図のように各辺から「角を1つだけふくむ4個（＝5−1）」のまとまりを作ると、4つのまとまりで全部の石をちょうど1回ずつ数えられます。だから 個。
「1辺×4−4（角の重なり）」と考えても で同じです。また、全体 から内側の を引いても になります。
中空方陣＝（外側の1辺−列の数）×列の数×4
外側の1辺が7個、2列の中空方陣は、下の図のようにたて2列×横5個の長方形4つに、風車の形で分けられます。長方形の長いほうは 個（となりの長方形の分をよけるため、列の数だけ引く）。1つ 個なので、全部で 個。全体 から中の空いた を引いた とも一致します。
なお、中実方陣のまわりは、1つ内側に入るごとに8個ずつ少なくなります（1辺が2個ずつ減るので、）。
中学受験（算数）での使い方
例題1（まわりの個数と全部の個数）
解き方
まわりは 個。全部は 個。
答え まわり 36 個、全部 100 個
例題2（まわりから全体を求める）
解き方
1辺は 個。全部で 個。
答え 169 個
例題3（中空方陣）
解き方
長方形4つに分けると、1つは 個。全部で 個。
確かめ：中の空いた部分は1辺 個なので 。
答え 108 個
例題4（過不足と組み合わせる）
解き方
1辺を1個ふやすのに必要な石は 個。1辺 個から 個にするには 個いるので（たて1列 個と横1列 個と角1個）、、。
碁石は 個。
答え 108 個
よくある間違い
合格先生
たて横1列ずつふやすとき「2n 個」とするのは×。角の1個も必要で 2n＋1 個だ。
- まわりを「1辺×4」とする：4つの角を2回数えている。（1辺−1）×4 か、1辺×4−4。
- 1列ふやすとき「2n 個」とする：たてと横を1列ずつふやすと、角の1個も必要なので 2n＋1 個。
- 中空方陣の中の空き：中の1辺は「外側の1辺−列の数×2」。列の数を1回しか引かないまちがいが多い。
練習問題
うかるくん
中空方陣は、長方形4つに分けるんだね。
- 中学受験 1辺に 8 個ずつ並べた中実方陣の、いちばん外側の個数は？
答えと解説を見る
。答え 28 個 - 中学受験 外側の1辺が 9 個で、2列の中空方陣があります。全部で何個ですか。
答えと解説を見る
（ でも同じ）。答え 56 個 - 中学受験 中実方陣のいちばん外側に 60 個並んでいます。全部で何個ですか。
答えと解説を見る
1辺は 個。。答え 256 個
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よくある質問
方陣算とは？
碁石などを正方形に並べたとき、まわりの個数や全部の個数を求める特殊算です。中までつまった中実方陣と、中が空いた中空方陣があります。
まわりの個数はなぜ（1辺−1）×4なのですか？
1辺×4では4つの角の石を2回ずつ数えてしまうからです。各辺から角を1つだけふくむ（1辺−1）個のまとまりを4つ作ると、ちょうど1回ずつ数えられます。
中空方陣の個数の求め方は？
同じ形の長方形4つに分け、（外側の1辺の個数−列の数）×列の数×4で求めます。全体の正方形から中の空いた正方形を引いても求められます。
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出典・参考
最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦
