過不足算・差集め算の公式と解き方｜全体の差÷1人あたりの差の理由（面積図）・余りと余り・長いすの例題【中学受験】

うかるくん

余りと不足のとき、なんで全体の差は足し算になるの？

合格先生

10個余る状態から8個足りない状態まで動いた。必要な数は $10+8=18$ 個ふえたことになるんだ。

過不足算・差集め算の公式

過不足算は、「1人に $a$ 個ずつ配ると余り、$b$ 個ずつ配ると足りない」という条件から、人数や全体の個数を求める特殊算です。差集め算は、「1つあたりの差」が集まって「全体の差」になる、という同じ考え方の問題です。

なぜ「全体の差÷1人あたりの差」なのか

配る数を1人4個から6個に増やすと、1人あたり2個ずつ、全員で「2個×人数」だけ多く必要になります。一方、実際には「10個余る」状態から「8個足りない」状態まで動いたので、必要な数は $10+8=18$ 個増えています。この2つは同じものなので、

文字で書けば、人数を $x$、個数を $N$ として $N=4x+10=6x-8$。両辺から $4x$ を引くと $10=2x-8$、$2x=18$。方程式と同じ計算を、図で見えるようにしたのが過不足算です。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

両方余るときに足してはいけない。余りと余りなら、差をとるんだ。

• 余りと余りなのに足す：両方余るときは差をとる。
• 空いた長いすの分を数え忘れる：「最後の1脚の空席」と「空いた脚の席」を不足として数える。

練習問題

うかるくん

全体の差÷1人あたりの差、これで人数が出るね。

1. 中学受験 色紙を1人5枚ずつ配ると7枚余り、7枚ずつ配ると9枚足りません。人数と色紙の枚数を求めなさい。
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   $(7+9)div(7-5)=8$ 人、$5 imes8+7=47$ 枚
2. 中学受験 あめを1人6個ずつ配ると4個足りず、8個ずつ配ると20個足りません。あめは何個ありますか。
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   $(20-4)div2=8$ 人、$6 imes8-4=44$。答え $44$ 個
3. 中学受験 予定より1本50円高いペンを同じ本数買ったので、代金が400円多くなりました。何本買いましたか。
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   $400div50=8$。答え $8$ 本

関連する公式

• つるかめ算（面積図の考え方）
• 和差算
• 連立方程式の解き方（方程式で解くと）
• 植木算
• 年齢算（差に注目する特殊算）
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よくある質問

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