連立方程式の解き方｜加減法・代入法と、式を足し引きしてよい理由・グラフの交点・文章題の例題【高校受験】

うかるくん

式どうしを足したり引いたりして、本当に答えは変わらないの？

合格先生

解なら左辺と右辺は同じ数だ。等しいものどうしを足しても等しいから、解の組は変わらないぞ。

連立方程式とその解き方

2つ以上の方程式を同時にみたす文字の値の組を求めるのが連立方程式です。文字を1つずつ消して、1つの文字の方程式にするのが基本です。

なぜ式どうしを足したり引いたりしてよいのか

$x+y=5$ と $2x-y=1$ を同時にみたす $(x,\ y)$ では、左辺と右辺がそれぞれ同じ数です。等しいものどうしを足しても等しいので、

が成り立ちます。つまり「解なら、足した式もみたす」。さらに、足した式ともとの1つの式があれば、もう1つの式も引き算でもどせるので、解の組は変わりません（同値な変形）。代入法も「同じ値を同じ値に入れかえる」だけなので、解は変わりません。

グラフで見ると：2直線の交点

2元1次方程式は一次関数のグラフ（直線）なので、連立方程式の解は2直線の交点です。平行な2直線なら交点がなく「解なし」、重なっていれば「解は無数」になります。

高校受験（中学2年）での使い方

連立方程式は中学2年で学びます。高校入試では、計算問題と、文章題（個数と代金、速さ、割合、濃度）が定番です。

この文章題は、算数のつるかめ算と同じ問題です。「全部みかんだったら」と考える算数の解き方は、加減法の引き算と同じことをしています。

よくある間違い

合格先生

式を何倍かするとき、右辺にかけ忘れるな。両辺に同じ数をかけるんだ。

• 何倍かするとき右辺をかけ忘れる：両辺に同じ数をかける。
• 引くときの符号：$-(−3y)=+3y$。
• 答えを確かめない：求めた値をもう一方の式にも入れて確かめる。

練習問題

うかるくん

答えはもう一方の式に入れて、確かめておこう。

1. 高校受験 $\begin{cases}x+2y=8\\3x-y=3\end{cases}$ を解きなさい。
   答えと解説を見る

   下を2倍して $6x-2y=6$、上とたして $7x=14$、$x=2$、$y=3$。
2. 高校受験 $\begin{cases}x=2y+1\\3x-4y=7\end{cases}$ を解きなさい。
   答えと解説を見る

   代入して $6y+3-4y=7$、$y=2$、$x=5$。
3. 高校受験 2けたの自然数があり、各位の数の和は11、十の位と一の位を入れかえた数はもとの数より27大きい。もとの数を求めなさい。
   答えと解説を見る

   十の位 $x$、一の位 $y$：$x+y=11$、$(10y+x)-(10x+y)=27$ より $y-x=3$。$y=7$、$x=4$。答え $47$

関連する公式

• 一次関数（2直線の交点）
• つるかめ算
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よくある質問

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