一次関数とは？傾き・切片の意味をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

一次関数と比例って、どっちも直線ですよね。何がちがうんですか？

合格先生

比例は原点からスタート、一次関数は $b$ からスタートするんだ。比例は一次関数の仲間で、$b=0$ のときだと考えればいいよ。

やさしく言うと

一次関数は、「はじめの量」に「一定のペースで増える（へる）量」をたした関係です。身近なところにたくさんあります。

• 水そうに水を入れる：最初 5cm 水が入っていて、1分ごとに 2cm ずつ深くなるとき、$x$ 分後の深さ $y$ cm は $y=2x+5$ です。
• ばねにおもりをつるす：もとの長さが 10cm で、おもり 1g につき 0.5cm のびるばねなら、$x$ g つるしたときの長さ $y$ cm は $y=0.5x+10$ です。
• ろうそくが燃える：長さ 20cm のろうそくが 1分に 0.5cm ずつ短くなるなら、$x$ 分後の長さ $y$ cm は $y=-0.5x+20$ です。へるときは、ペースがマイナスになります。

どれも「スタートの量」と「1 あたりの変わり方」の 2 つで決まっています。これが一次関数です。

$y=ax+b$ の $a$ を傾き、$b$ を切片といいます（傾きと切片）。グラフは必ずまっすぐな直線になります。

うかるくん

切片が「スタートの量」、傾きが「1あたりの増え方」と思えばいいんだ！

一次関数の例

「一次」とは、$x$ の次数が1（$x$ が1回だけかかっている）という意味です。式を $y=ax+b$ の形に直せるかどうかで判断します。

図で見る

$y=2x+5$ の $x$ と $y$ を表にすると、一次関数の特ちょうがはっきり見えます。

$y$ は 5, 7, 9, 11, 13 と、いつも同じだけ増えています。この「同じだけ」が傾きです。そして $x=0$ のときの $y$ が切片です。表・式・グラフは、同じ関係を 3 通りに表したものです。

サクラちゃん

どうして一次関数のグラフは、まっすぐな直線になるんですか？

合格先生

$x$ を 1 進めるたびに、$y$ がいつも同じだけ上がるからだよ。同じ角度の坂がずっと続くから、曲がるところがないんだ。

グラフをかくときは、切片の点 $(0,\ b)$ をとり、そこから「右へ 1、上へ $a$」進んだ点をとって、2点を結びます。$y=2x+5$ なら、$(0,\ 5)$ と $(1,\ 7)$ を結べばかけます。

変化の割合はいつも傾きと同じ

$x$ の増加量に対する $y$ の増加量の割合を変化の割合といいます。

$$\text{変化の割合}=\frac{y\text{ の増加量}}{x\text{ の増加量}}$$

$y=2x+5$ で $x$ が 1 から 4 まで増えると、$y$ は 7 から 13 まで増えます。変化の割合は $\dfrac{13-7}{4-1}=\dfrac63=2$ で、傾き $a=2$ と同じです。一次関数では、どこで調べても変化の割合は $a$ です。だからグラフが直線になります。

なお、$y=x^2$ のような関数では、調べる場所によって変化の割合が変わります。「変化の割合がいつも一定」は、一次関数だけの特ちょうです。

比例とのちがい

比例は、一次関数のうち $b=0$ の特別な場合です。$y=2x+3$ のグラフは、$y=2x$ のグラフを上に 3 だけ平行移動したものです。傾きが同じ直線どうしは平行になります。

直線の式の求め方

一次関数の式（直線の式）は、傾き $a$ と切片 $b$ の 2 つがわかれば決まります。問題で何がわかっているかで、次の 3 つのパターンがあります。

たとえば $(1,\ 3)$ と $(3,\ 7)$ を通る直線は、傾き $\dfrac{7-3}{3-1}=2$、$3=2\times1+b$ より $b=1$ で、$y=2x+1$ です。

テスト・入試ではこう出る

一次関数は中学 2 年で習い、高校入試の関数の問題で毎年のように使われます。よく出るのは、直線の式を求める問題、2 直線の交点を連立方程式で求める問題、料金や水の量などの文章題、図形の上を点が動く動点の問題です。中学 3 年で習う $y=ax^2$ のグラフと直線を組み合わせた問題もよく出ます。

サクラちゃん

交点は「2つの式を同時に満たす点」。だから連立方程式で求められるのね！

まちがえやすい点

合格先生

一次関数では、$x$ が2倍でも $y$ は2倍になるとは限らないよ！

• 「$x$ が2倍なら $y$ も2倍」と考える：それは比例だけ。$y=2x+5$ で $x=1$ なら $y=7$、$x=2$ なら $y=9$ で、2倍になりません。
• 傾きの符号と向き：$y=4-x$ の傾きを「4」や「1」とするまちがいです。$y=-x+4$ と並べかえると、傾きは $-1$、切片は 4 です。$a$ が正なら右上がり、負なら右下がりです。
• 切片を $x$ 軸との交点と取りちがえる：切片 $b$ は $y$ 軸と交わる点の $y$ 座標です。$y=2x+4$ の切片は 4 で、$x$ 軸とは $(-2,\ 0)$ で交わります。
• 傾きの分母と分子を逆にする：傾きは $\dfrac{y\text{ の増加量}}{x\text{ の増加量}}$ です。$(1,\ 3)$ と $(3,\ 7)$ なら $\dfrac42=2$。$\dfrac24=\dfrac12$ にしないようにしましょう。
• 増加量の引き算の順番をそろえない：$y$ を「$7-3$」で引いたら、$x$ も「$3-1$」と同じ点から引きます。$\dfrac{7-3}{1-3}$ とすると符号が逆になります。

ことばの由来

一次は、$x$ の次数が 1 であることを表します。$x^2$ をふくむ関数は二次関数、$x^3$ なら三次関数です。英語では linear function（リニア ファンクション）といい、linear は「直線の」という意味です。グラフが直線になることから来た名前です。

「関数」は、昔は「函数」と書きました。今の教科書では「関数」と書きます。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 一次関数
• 比例・反比例の式
• 2直線の平行・垂直条件
• 連立方程式の解き方

あわせて覚えたい用語

• 傾きと切片
• 比例定数
• グラフ

よくある質問