比例・反比例の式｜y=ax・y=a/x の意味・グラフ・見分け方と例題【中学受験〜高校受験】

うかるくん

$x$ が増えると $y$ も増えるなら、それって比例じゃないの？

合格先生

それだけでは比例とはいえない。$y\div x$ が一定、つまり $y=ax$ の形のときだけ比例だ。

比例・反比例の式

2つの量 $x$ と $y$ があって、$x$ が2倍、3倍…になると $y$ も2倍、3倍…になるとき、「$y$ は $x$ に比例する」といいます。反対に、$x$ が2倍、3倍…になると $y$ が $\dfrac{1}{2}$ 倍、$\dfrac{1}{3}$ 倍…になるとき、「$y$ は $x$ に反比例する」といいます。

グラフの形

• 比例のグラフは、原点を通る直線です。$a>0$ なら右上がり、$a<0$ なら右下がり。
• 反比例のグラフは双曲線という2本の曲線です。$x$ 軸・$y$ 軸に限りなく近づきますが、くっつくことはありません（$x=0$ では $y$ が決まらないため）。

比例かどうかの見分け方

• 比例：$y\div x$ が一定。例：同じ値段の品物の個数と代金、一定の速さで歩く時間と道のり、針金の長さと重さ。
• 反比例：$x\times y$ が一定。例：面積が決まった長方形のたてと横、決まった道のりを進む速さと時間、かみ合う歯車の歯の数と回転数。
• $y=x+3$ のように足し算が入るものは比例ではありません（$x$ が2倍でも $y$ は2倍にならない）。

中学受験（算数）での使い方

比例は小学5年で簡単な場合を、小学6年で比例・反比例とグラフを学びます。中学受験では「比」と組み合わせて、速さと時間の逆比や歯車の問題によく出ます。

高校受験（中学1年〜）での使い方

中学1年では、$x$ や $y$ が負の数のときも含めて比例・反比例を学び、座標平面にグラフをかきます。高校入試では、式を求める問題、グラフの交点、一次関数・二次関数との組み合わせがよく出ます。

大学受験（数学Ⅲ・物理）では

反比例のグラフ $y=\dfrac{a}{x}$ を平行移動した $y=\dfrac{a}{x-p}+q$ を分数関数といい、数学Ⅲで学びます。漸近線は $x=p$ と $y=q$ です。物理では、オームの法則 $V=RI$（比例）や、温度一定の気体の圧力と体積 $pV=\text{一定}$（反比例、ボイルの法則）など、比例・反比例の関係がたくさん出てきます。

よくある間違い

合格先生

反比例の比例定数を $y\div x$ にするのは×。$a$ は $x\times y$ の値だ。

• 「ともに増える」＝比例ではない：$y=x+3$ も $x$ とともに増えますが、比例ではありません。
• 反比例のグラフを直線でかく：反比例は曲線（双曲線）です。
• 反比例の比例定数：$y=\dfrac{a}{x}$ の $a$ は $x\times y$ の値。$y\div x$ ではありません。

練習問題

サクラちゃん

反比例のグラフは、直線じゃなくて双曲線ね。

1. 中学受験 面積が $24\text{ cm}^2$ の長方形で、たてが $4$ cm のとき横は何 cm ですか。たてが $3$ cm になると横は何 cm ですか。
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   たて×横＝24（反比例）。$24\div4=6$、$24\div3=8$。答え $6$ cm、$8$ cm
2. 高校受験 $y$ は $x$ に反比例し、$x=4$ のとき $y=6$ です。$x=-3$ のときの $y$ の値を求めなさい。
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   $a=xy=24$ なので $y=\dfrac{24}{x}$。$x=-3$ のとき $y=-8$。答え $-8$
3. 高校受験 $y$ は $x$ に比例し、$x=5$ のとき $y=20$ です。$x=-1.5$ のときの $y$ を求めなさい。
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   $a=20\div5=4$、$y=4x$。$y=4\times(-1.5)=-6$。答え $-6$

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