仕事算の解き方｜全体を最小公倍数にする理由・2人でする・とちゅうから・水そうの問題と例題【中学受験】

うかるくん

Aは6日、Bは12日なら、2人でやると間をとって9日じゃないの？

合格先生

日数は足しも平均もできない。全体を12にして、1日の量2と1を足すんだ。12÷3で4日だぞ。

仕事算の考え方

仕事算は、何人かで仕事をするときにかかる日数（時間）を求める特殊算です。「全体の仕事の量」を決めて、1日あたりにできる量で考えます。

なぜ「全体を最小公倍数」にするのか

A は6日、B は12日で終える仕事なら、全体を1とすると、A は1日に $\dfrac16$、B は $\dfrac{1}{12}$。2人で1日に $\dfrac16+\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac14$ なので、$1\div\dfrac14=4$ 日です。

全体を6と12の最小公倍数12にすると、A は1日に2、B は1日に1と整数になり、$12\div(2+1)=4$ 日と分数なしで計算できます。全体をいくつにしても答えは変わりません（全体を $k$ 倍すると、1日の量も $k$ 倍になるので、割り算の結果は同じ）。これが仕事算の本質です。

中学受験（算数）での使い方

水そう・ポンプ・印刷機なども同じ考え方です。「出ていく管」があるときは、その量を引きます（ニュートン算へ発展）。

よくある間違い

合格先生

全体を決めずに考えるな。まず全体を1か、日数の最小公倍数にするんだ。

• 日数をそのまま足す：6日と12日で「18日」や「9日（平均）」にはならない。足すのは1日あたりの量。
• 全体を決めずに考える：まず全体を1か最小公倍数にする。

練習問題

サクラちゃん

全体を最小公倍数にすれば、分数なしで解けるよ。

1. 中学受験 A は 8 時間、B は 24 時間でできる仕事を、2 人ですると何時間かかりますか。
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   全体 24、A は1時間 3、B は 1。$24\div4=6$。答え $6$ 時間
2. 中学受験 A、B、C の3人だと 4 日、A だけだと 12 日、B だけだと 18 日かかる仕事を、C だけですると何日かかりますか。
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   全体 36、3人で1日 9、A 3、B 2 なので C は 4。$36\div4=9$。答え $9$ 日
3. 中学受験 水そうに A 管で水を入れると 15 分で満水、B 管で水をぬくと 20 分で空になります。空の水そうに A で入れながら B でぬくと何分で満水になりますか。
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   全体 60、A は1分 4 入れ、B は 3 ぬく。1分に 1 たまるので 60 分。答え $60$ 分

関連する公式

• 比例・反比例（人数と日数は反比例）
• 割合の公式
• つるかめ算
• 旅人算（速さの和と同じ考え方）
• ニュートン算
• 相当算
• 最大公約数・最小公倍数

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）