旅人算の公式と解き方｜出会いは速さの和・追いつきは速さの差になる理由、池のまわり・ダイヤグラムの例題【中学受験】

うかるくん

出会うときは速さの和、追いつくときは差なのはなぜ？

合格先生

2人の間の距離に注目だ。向かい合えば1分に速さの和、同じ向きなら速さの差だけ縮むぞ。

旅人算の公式

旅人算は、2人（2台）が同時に動くとき、「出会うまで」「追いつくまで」の時間や道のりを求める特殊算です。

なぜ「和」と「差」なのか（2人の間の距離に注目）

旅人算の本質は、2人それぞれではなく「2人の間の距離」がどう変わるかを見ることです。

• 向かい合って進む：1分ごとに、A が近づいた分と B が近づいた分の両方だけ、間が縮まります。つまり1分に「速さの和」ずつ縮む。距離が0になるのが出会うとき。
• 同じ向きに進む：前の人も進むので、1分に縮むのは「速さの差」だけ。

「2人の間の距離」を1人の旅人のように考えると、時間＝道のり÷速さの公式がそのまま使えます。この「相手から見た速さ」を、物理では相対速度といいます。

中学受験（算数）での使い方

高校受験（中学数学）では

中学では、旅人算を方程式や一次関数のグラフ（ダイヤグラム）で解きます。2人の位置を時間 $t$ の式で表し、等しくなる $t$ を求めます（2直線の交点）。

よくある間違い

合格先生

池のまわりでは1周を忘れやすい。反対向きは2人で1周、同じ向きは1周の差だ。

• 向かい合うのに差で割る：近づく速さは「和」。
• 池のまわりで「1周」を忘れる：反対向きは2人で1周、同じ向きは1周の差。
• 単位をそろえない：km と m、時速と分速。

練習問題

サクラちゃん

km と m、単位をそろえてから計算しようね。

1. 中学受験 3 km はなれた2地点から、分速 90 m と分速 60 m で向かい合って同時に出発しました。出会うのは何分後ですか。
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   $3000\div150=20$。答え $20$ 分後
2. 中学受験 時速 4 km で歩く人を、30 分後に時速 12 km の自転車で追いかけます。何分後に追いつきますか。
   答えと解説を見る

   先に $2$ km 進んでいる。$2\div(12-4)=0.25$ 時間。答え $15$ 分後
3. 中学受験 1周 600 m のトラックを、A と B が同じ地点から反対向きに同時に走ると 1 分 40 秒ごとに出会い、同じ向きに走ると 10 分ごとに A が B を追いこします。A の速さは分速何 m ですか。
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   和は $600\div\dfrac{5}{3}=360$、差は $600\div10=60$。A は $(360+60)\div2=210$。答え 分速 $210$ m

関連する公式

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• つるかめ算
• 植木算
• 和差算
• 仕事算
• 通過算
• 流水算
• ニュートン算
• 時計算
• 速さと比
• ダイヤグラム（速さのグラフ）
• 往復と出会い・追いこし

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