ダイヤグラム（速さのグラフ）の読み方｜傾き＝速さ・交点＝出会いの理由・相似で比を出す例題【中学受験〜高校受験】

うかるくん

ダイヤグラムの線のかたむきって、いったい何を表しているの？

合格先生

かたむきは速さだ。進んだ道のり÷かかった時間そのものだからな。急な線ほど速いぞ。

ダイヤグラムの読み方

ダイヤグラム（進行グラフ）は、横軸に時間、たて軸に位置（出発点からの道のり）をとって、人や乗り物の動きを線で表したグラフです。

なぜそう読めるのか

傾き＝速さ

グラフ上の2点 $(t_1,\ p_1)$、$(t_2,\ p_2)$ を結ぶ線の傾きは $\dfrac{p_2-p_1}{t_2-t_1}$ です。分子は進んだ道のり、分母はかかった時間なので、これは速さ＝道のり÷時間そのものです。上の図の A は、10分で600m進んでいるので傾き（速さ）は $600\div10=60$（分速60m）。速さが一定なら傾きも一定なので、線はまっすぐになります（一次関数）。休けい中は道のりが増えないので、傾き0の水平な線になります。

交点＝出会い

交点は、2本の線の両方にのっている点です。つまり同じ時刻に同じ位置にいることを表すので、向かい合って進むなら出会い、同じ向きなら追いつきです。上の図では、B は12分で $100\times12=1200$ m 進み、駅から1200m、つまり家から $1800-1200=600$ m の地点にいます。A はこのとき休けい中で600mの地点にいるので、たしかに12分後に出会っています。

相似で比を出す

P と Q の間を、A は P→Q を30分、B は Q→P を20分で、同時に出発して進むとします。2本の線は交点で交わり、上の水平線（Q の位置：B の出発から A の到着まで30分）と下の水平線（P の位置：A の出発から B の到着まで20分）は平行です。平行線と交わる2直線でできる砂時計型の2つの三角形は相似（2組の角がそれぞれ等しい）で、相似比は $30:20=3:2$。だから交点の高さは、下から $2$、上から $3$ の割合のところ、つまり P から $3000\times\dfrac25=1200$ m、時刻は $30\times\dfrac25=12$ 分です。

中学受験（算数）での使い方

高校受験（中学数学）での使い方

中学では、それぞれの線を一次関数の式で表し、交点を連立方程式で求めます。傾きが速さ、切片が出発の位置です。

よくある間違い

合格先生

水平な線を「ゆっくり進む」と読むな。水平は止まっている、つまり速さ0だ。

• 軸を逆に読む：横が時間、たてが位置（道のり）。逆にすると傾きが「速さ」になりません。
• 単位の取りちがえ：横軸が「分」なら傾きは分速、「時間」なら時速です。
• 交点の高さを時刻と思う：交点の横の目もりが時刻、たての目もりが位置です。
• 水平な線を「ゆっくり進む」と読む：水平は止まっている（速さ0）。

練習問題

うかるくん

交点を見つけたら、砂時計型の相似を探してみるよ

1. 中学受験 ダイヤグラムで、ある人の線が15分で1200m上がっています。この人の速さは分速何mですか。
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   傾き＝$1200\div15=80$。答え 分速 80 m
2. 中学受験 P と Q は 2400 m はなれています。A は P から Q まで40分、B は Q から P まで24分かかります。同時に出発すると、何分後に出会いますか。
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   砂時計型の相似比 $40:24=5:3$。交点は P から $\dfrac38$ の位置で、時刻は $40\times\dfrac38=15$ 分後（P から 900 m）。確かめ：分速60m と100m、$2400\div160=15$。答え 15 分後
3. 高校受験 2本の直線 $y=80x$ と $y=2000-120x$ で表される2人が出会う時刻 $x$ と位置 $y$ を求めなさい。
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   $80x=2000-120x$、$200x=2000$、$x=10$、$y=800$。答え $x=10$、$y=800$

関連する公式

• 速さ・時間・道のりの公式
• 旅人算（出会い・追いつき）
• 速さと比
• 一次関数（傾き＝速さ）
• 三角形の相似条件（砂時計型）
• 点の移動とグラフ

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）