点の移動とグラフの解き方｜区間ごとに面積の式を作る・グラフが直線や平らになる理由と例題【中学受験〜高校受験】

うかるくん

点が角を曲がると、式がどう変わるのか分からなくなるよ。

合格先生

点がどの辺の上にいるかで区間を分けよう。動かない辺を底辺にすると考えやすいぞ。

点の移動とグラフの考え方

図形の辺の上を点が動くとき、点がつくる三角形の面積などが時間とともにどう変わるかを考える問題です。中学受験では「グラフから読み取る」、高校受験では「一次関数の式で表す」形でよく出ます。

なぜグラフが直線や平らになるのか

△ABP の底辺を AB（6 cm）とすると、高さは「P から AB までの距離」です。

• B→C（$0\le x\le8$）：高さ＝BP＝$x$。面積 $y=\dfrac12\times6\times x=3x$。高さが一定の割合で増えるので右上がりの直線（比例）。
• C→D（$8\le x\le14$）：P は AB に平行な辺 CD 上なので、高さはずっと 8。$y=24$ で平ら（等積変形と同じ理由）。
• D→A（$14\le x\le22$）：高さ＝PA＝$22-x$。$y=3(22-x)$ で右下がり。

中学受験（算数）での使い方

高校受験（中学数学）での使い方

よくある間違い

合格先生

区間を分けずに1つの式にしてしまう。曲がり角ごとに式は変わるんだ。

• 区間を分けずに1つの式にする：曲がり角ごとに式が変わる。
• どの三角形の底辺を固定するか決めない：動かない辺を底辺にすると考えやすい。

練習問題

うかるくん

高さが変わらない区間は、グラフが平らだね。

1. 中学受験 上の長方形で、出発して6秒後の △ABP の面積を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $3\times6=18$。答え $18\text{ cm}^2$
2. 中学受験 上の長方形で、△ABP の面積が最大になっている時間は、何秒後から何秒後までですか。
   答えと解説を見る

   P が CD 上のとき。答え 8秒後から14秒後
3. 高校受験 上の長方形で、P が D→A を動くときの式 $y=3(22-x)$ を使い、$x=20$ のときの面積を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $3\times2=6$。答え $6\text{ cm}^2$

関連する公式

• 一次関数
• 比例・反比例
• 三角形の面積
• 等積変形
• 速さ・時間・道のり
• ダイヤグラム
• 動く点と面積

よくある質問

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