動く点と面積の解き方と公式｜面積が比例・一定になる理由と「何秒後に〇cm²」・2つの点が動く台形の例題【中学受験】

うかるくん

点が動いているのに、三角形の面積が変わらない時間があるのはなぜ？

合格先生

点が底辺と平行な辺の上を動くと、高さが同じままだからだ。底辺も高さも変わらなければ、面積は一定になる。

動く点と面積の考え方

図形の辺の上を点が動くと、その点を頂点にした三角形や四角形の面積が変わっていきます。「何秒後に面積が〇cm²になるか」を求めるには、点がどの辺の上にいるかで場合分けし、底辺と高さのどちらが変わるかを見ます。

なぜ比例したり、一定になったりするのか

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」です。点 P が辺 BC の上を毎秒 2cm で進むとき、△ABP は底辺 BP、高さ AB の三角形です。BP は1秒に 2cm ずつのびるので、面積も1秒に 6×2÷2＝6（cm²）ずつ、同じだけふえます。だから面積は時間に比例します。

P が辺 CD の上にあるときは、AB を底辺と見ます。CD は AB と平行なので、P が CD のどこにいても、AB からのはば（高さ）は BC の 12cm で同じです。底辺も高さも変わらないので、面積は一定です（等積変形と同じ考え方）。

P が辺 DA の上にあるときは、AP を底辺、AB を高さと見ます。AP は1秒に 2cm ずつ短くなるので、面積は同じ割合でへっていきます。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

答えを1つ見つけて終わりにするな。面積はふえたあとへることが多いので、同じ面積になる時刻が2回あることもある。

• 場合分けをしないで1つの式で解く：P がどの辺の上にいるかで面積の式が変わる。辺ごとに分けて考える。
• 答えを1つ見つけて終わる：面積はふえたあとにへることが多いので、同じ面積になる時刻が2回あることがある。
• 平行な辺の上でも面積が変わると思いこむ：底辺と平行な辺の上では高さが同じなので、面積は一定。

練習問題

合格先生

点がどの辺の上にいるかで、場合分けするんだ。

1. 中学受験 たて AB＝5cm、横 BC＝8cm の長方形 ABCD で、点 P が B から C へ毎秒 1cm で進みます。△ABP の面積が 15cm² になるのは何秒後ですか。
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   5×□÷2＝15 より □＝6。BC は 8cm なので P は辺の上にある。答え $6$ 秒後
2. 中学受験 1辺 10cm の正方形 ABCD で、点 P が A を出発し、毎秒 2cm で A→B→C と進みます。△APD の面積が 30cm² になるのは何秒後ですか。また、面積が変わらないのは何秒後から何秒後までですか。
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   AB 上（0〜5秒）では 10×(2×□)÷2＝10×□＝30 より 3秒後。BC 上（5〜10秒）では BC と AD が平行なので 10×10÷2＝50 で一定。答え 3秒後、5秒後から10秒後まで
3. 中学受験 たて AB＝6cm、横 AD＝10cm の長方形 ABCD で、点 P は A から D へ毎秒 1cm、点 Q は B から C へ毎秒 3cm で同時に出発します。四角形 ABQP の面積が長方形の半分になるのは何秒後ですか。
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   半分になるのは AP＋BQ＝10cm のとき。1秒に 1＋3＝4cm ふえるので 10÷4＝2.5（秒）。このとき BQ＝7.5cm で辺の上。答え $2.5$ 秒後

関連する公式

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• 面積比と辺の比
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よくある質問

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