面積比と辺の比｜高さが同じ三角形の面積比＝底辺の比・角を共有する三角形の面積比の証明と例題【中学受験】

うかるくん

角を共有する2つの三角形の面積比は、どうやって出すの？

合格先生

共有する角をはさむ2つの辺の比を、かけ算するんだ。足し算ではないぞ。

面積比と辺の比の公式

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」（三角形の面積）。だから、高さが同じなら面積は底辺に比例し、底辺が同じなら高さに比例します。これを使うと、長さがわからなくても比だけで面積が求められます。

証明（なぜ成り立つか）

高さが同じなら、面積の比＝底辺の比

△ABD と △ADC は、どちらも A から直線 BC にひいた垂線の長さ $h$ が高さです。面積はそれぞれ $BD\times h\div2$、$DC\times h\div2$。

「$\times h\div2$」は両方に共通なので、比では消えます。底辺が同じで高さがちがう場合も、同じ理由で面積の比＝高さの比です。

1つの角を共有する三角形

補助線 PC をひいて、2段階で考えます。

1. △APQ と △APC は、頂点 P を共有し、底辺 AQ と AC が同じ直線上にあるので高さが同じ。よって $\triangle APQ=\triangle APC\times\dfrac{AQ}{AC}$。
2. △APC と △ABC は、頂点 C を共有し、底辺 AP と AB が同じ直線上にあるので高さが同じ。よって $\triangle APC=\triangle ABC\times\dfrac{AP}{AB}$。

2つを合わせると $\triangle APQ=\triangle ABC\times\dfrac{AP}{AB}\times\dfrac{AQ}{AC}$。たとえば AP：PB＝2：1、AQ：QC＝3：2 なら、$\dfrac23\times\dfrac35=\dfrac25$ 倍です。

P と Q が A から同じ割合 $k$ のところにあれば $k\times k=k^2$ 倍となり、相似な図形の面積比（相似比の2乗）と一致します。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

AP：PB＝2：1 で $\dfrac{AP}{AB}=\dfrac21$ とするのは×だ。分母は辺全体で $\dfrac23$ だぞ。

• 「部分：部分」と「部分：全体」の取りちがえ：AP：PB＝2：1 なら $\dfrac{AP}{AB}=\dfrac23$ で、$\dfrac21$ ではありません。
• 比を足してしまう：角を共有する三角形は、2つの比をかける。$\dfrac23+\dfrac35$ ではありません。
• 高さが同じでない三角形にも使う：底辺が同じ直線上にあって、向かいの頂点が共通（または底辺に平行な線上）のときだけ、高さが同じです。

練習問題

サクラちゃん

高さが同じかどうか、まず図で確かめよう！

1. 中学受験 三角形 ABC の辺 BC 上に BD：DC＝3：5 となる点 D をとると、三角形 ABD の面積は 24 cm² でした。三角形 ABC の面積は？
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   $\triangle ADC=24\times\dfrac53=40$。$\triangle ABC=24+40=64$。答え 64 cm²
2. 中学受験 面積 36 cm² の三角形 ABC で、AP：PB＝1：2、AQ：QC＝1：1 となる点 P（AB 上）、Q（AC 上）をとります。四角形 PBCQ の面積は？
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   $\triangle APQ=36\times\dfrac13\times\dfrac12=6$。四角形は $36-6=30$。答え 30 cm²
3. 中学受験 面積 27 cm² の三角形 ABC で、AP：PB＝BQ：QC＝CR：RA＝1：2 となる点 P、Q、R を辺上にとります。三角形 PQR の面積は？
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   角 A の三角形 APR は $27\times\dfrac13\times\dfrac23=6$。角 B・角 C のところも同じく $6$。$27-6\times3=9$。答え 9 cm²

関連する公式

• 三角形・平行四辺形の面積の公式
• 相似な図形の面積比・体積比
• 等積変形（高さが同じなら面積が同じ）
• すい体の切断と体積比（立体版の考え方）
• メネラウスの定理・チェバの定理
• 連比・比例式
• となりあう辺の比

よくある質問

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