すい体の切断と体積比｜体積比＝相似比の3乗の証明・円すい台の体積・三角すいを切った体積比（1:7:19）【中学受験〜高校受験】

中学受験高校受験

\text{体積比}=a^3:b^3\quad(\text{相似比 }a:b)

三角すいは $\dfrac{OP}{OA}\times\dfrac{OQ}{OB}\times\dfrac{OR}{OC}$ 倍

この公式のポイント

底面に平行に切ると上はもとと相似
体積比＝相似比の3乗（面積比は2乗）
円すい台＝大きい円錐−小さい円錐（半分で切ると $1:7$ ）
三角すいは3本の辺の比をかける

うかるくん

高さの半分で切ったら、円すい台の体積はどうなるの？

合格先生

小さい円錐ともとの円錐は $1:8$ だ。台は $8-1=7$ なので、小：台＝ $1:7$ になるぞ。

すい体の切断と体積比の公式

円錐や角すい（すい体）を底面に平行な平面で切ると、上にもとと相似な小さいすい体ができます。下に残る立体が円すい台（角すい台）です。体積は相似比の3乗で考えます。

すい体の切断と体積比

相似な立体の体積比＝相似比の3乗：相似比 $a:b$ なら体積比 $a^3:b^3$
円すい台の体積＝大きい円錐−小さい円錐（高さ半分で切ると小：台＝ $1:7$ ）
三角すいを切った体積比：辺 OA、OB、OC 上に P、Q、R をとると

\frac{\text{三角すい }O\text{-}PQR}{\text{三角すい }O\text{-}ABC}=\frac{OP}{OA}\times\frac{OQ}{OB}\times\frac{OR}{OC}

高さを3等分して切ると、上から相似比 1：2：3 の円錐。3つの部分の体積比は 1：7：19

証明（なぜ成り立つか）

体積比が相似比の3乗になる理由

すい体の体積は $\dfrac13\times\text{底面積}\times\text{高さ}$ （すい体の体積）。相似比が $a:b$ のとき、底面は相似な図形なので底面積の比は $a^2:b^2$ （面積比は相似比の2乗）、高さの比は $a:b$ 。かけると体積の比は $a^2\times a:b^2\times b=a^3:b^3$ です。

底面に平行に切ると上の小さいすい体がもとと相似になるのは、切り口が底面と相似（頂点からの拡大・縮小）で、高さも同じ割合で縮むからです。頂点から切り口までの高さ：もとの高さが相似比になります。

円すい台の体積

円すい台は「大きい円錐から小さい円錐を取ったもの」。高さの半分で切ると、小さい円錐：大きい円錐＝ $1^3:2^3=1:8$ なので、小さい円錐：円すい台＝ $1:(8-1)=1:7$ です。

高校受験では、上の半径 $r$ 、下の半径 $R$ 、高さ $h$ の円すい台の体積が、大きい円錐からの引き算で

V=\frac13\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right)

になることも知っておくと便利です（大きい円錐の高さ $H$ は $r:R=(H-h):H$ から $H=\dfrac{Rh}{R-r}$ 。 $\dfrac13\pi R^2H-\dfrac13\pi r^2(H-h)$ を計算すると $\dfrac13\pi h\cdot\dfrac{R^3-r^3}{R-r}$ になり、 $R^3-r^3=(R-r)(R^2+Rr+r^2)$ で約分できます）。

三角すいを切った体積比

三角すい O-ABC を P・Q・R で切る。体積は3本の辺の比をかけた ½×⅔×¾＝¼ 倍

三角すい O-PQR と O-ABC を、それぞれ面 OPQ・面 OAB を底面として見ます。

底面積：△OPQ と △OAB は角 O を共有するので、面積比は $\dfrac{OP}{OA}\times\dfrac{OQ}{OB}$ 。
高さ：R と C は直線 OC 上にあるので、面 OAB までの高さの比は $\dfrac{OR}{OC}$ （O から測った長さの比）。

体積は底面積×高さに比例するので、2つをかけて $\dfrac{OP}{OA}\times\dfrac{OQ}{OB}\times\dfrac{OR}{OC}$ 倍。3本とも同じ比 $k$ なら $k^3$ となり、相似の場合と一致します。

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（3つに切った体積比）

円錐を、高さを3等分する2つの平面で、底面に平行に切りました。上から順に3つの部分の体積の比を求めなさい。

解き方

頂点からの円錐は相似比 $1:2:3$ なので、体積比は $1:8:27$ 。

3つの部分は $1$ 、 $8-1=7$ 、 $27-8=19$ 。

答え　 $1:7:19$

中学受験

例題2（円すい台の体積）

体積が 270 cm³ の円錐を、頂点から高さの

\frac13

のところで、底面に平行に切りました。下の円すい台の体積は何 cm³ ですか。

解き方

上の小さい円錐ともとの円錐の相似比は $1:3$ 、体積比は $1:27$ 。

円すい台はもとの $\dfrac{27-1}{27}=\dfrac{26}{27}$ なので、 $270\times\dfrac{26}{27}=260$ 。

答え　260 cm³

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題3（円すい台）

下の底面の半径が 6 cm、上の面の半径が 3 cm、高さが 4 cm の円すい台の体積を求めなさい。円周率は

\pi

とします。

解き方

半径の比 $3:6=1:2$ なので、切り取った小さい円錐の高さは 4 cm、もとの円錐の高さは 8 cm。

$\dfrac13\pi\times6^2\times8-\dfrac13\pi\times3^2\times4=96\pi-12\pi=84\pi$ 。

（公式でも $\dfrac13\pi\times4\times(36+18+9)=84\pi$ 。もとの円錐 $96\pi$ の $\dfrac78$ にもなっています。）

答え　 $84\pi$ cm³

高校受験

例題4（三角すいの切断）

体積 48 cm³ の三角すい O-ABC で、辺 OA、OB、OC 上に点 P、Q、R を OP：PA＝1：1、OQ：QB＝2：1、OR：RC＝3：1 となるようにとります。三角すい O-PQR の体積を求めなさい。

解き方

$\dfrac{OP}{OA}=\dfrac12$ 、 $\dfrac{OQ}{OB}=\dfrac23$ 、 $\dfrac{OR}{OC}=\dfrac34$ 。

$48\times\dfrac12\times\dfrac23\times\dfrac34=12$ 。

答え　12 cm³

よくある間違い

合格先生

$1:8$ のまま答えるのはまちがいだ。それは小さい円錐と、もとの円錐の比だぞ。

体積比を相似比の2乗にする：2乗は面積比。体積は3乗です。
円すい台を $1:8$ のまま答える： $1:8$ は小さい円錐ともとの円錐の比。円すい台は $8-1=7$ 。
比の「部分：部分」をそのまま使う：OP：PA＝1：2 なら $\dfrac{OP}{OA}=\dfrac13$ 。分母は辺全体です。

練習問題

うかるくん

体積は相似比の3乗、これで解けるぞ。

中学受験相似比が 2：3 の2つの円錐の体積比は？
答えと解説を見る
$2^3:3^3=8:27$
中学受験体積 64 cm³ の正四角すいを、高さの半分のところで底面に平行に切りました。上の小さい四角すいと、下の立体の体積は？
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相似比 $1:2$ 、体積比 $1:8$ 。上は $64\div8=8$ cm³、下は $64-8=56$ cm³
高校受験体積 60 cm³ の三角すい O-ABC で、OP＝ $\frac13$ OA、OQ＝ $\frac12$ OB、R＝C のとき、三角すい O-PQR の体積は？
答えと解説を見る
$60\times\dfrac13\times\dfrac12\times1=10$ 。答え 10 cm³

よくある質問

相似な立体の体積比は？

相似比の3乗です。相似比が a:b なら体積比は a³:b³ です。

円錐を高さの半分で切ると体積はどうなりますか？

上の小さい円錐はもとの1/8、下の円すい台は7/8です。小さい円錐と円すい台の比は1:7です。

円すい台の体積の求め方は？

切る前の大きい円錐の体積から、切り取った小さい円錐の体積を引きます。公式 V=1/3 πh(R²+Rr+r²) もあります。

三角すいを切ったときの体積比は？

頂点Oから出る3本の辺上に点P、Q、Rをとると、三角すいO-PQRはもとの OP/OA×OQ/OB×OR/OC 倍です。