立方体の切断（切り口の作図）の3つのルール｜平行な面の切り口が平行な理由・七角形にならない理由・体積の例題【中学受験】

うかるくん

切り口の線を、どこからどこへ引けばいいか分からない…

合格先生

同じ面の上の2点は直線で結ぶ。平行な面には平行な線を引く。この2つが基本だ。

立体の切断の3つのルール

立体を平面で切ったときの切り口（断面）の形を考える問題です。立方体の切断は中学受験の定番です。

ルールの理由

• ルール1：切り口は平面と面（平面）の交わりなので直線。同じ面の上の2点を通る直線はただ1本。
• ルール2：平行な2つの面は交わらないので、そこにできる2本の切り口の線も交わりません。しかも2本とも同じ切断面の上にあるので、同じ平面上の交わらない2直線、つまり平行です。
• 七角形にならない理由：切り口の1本の辺は立方体の1つの面の上にでき、1つの面には辺が1本しかできません。立方体の面は6つなので、切り口は最大で六角形です。

図の正六角形は、向かい合う辺がそれぞれ平行（ルール2）。どの辺も、正方形の2辺の中点を結ぶ線で長さが等しく、角もすべて等しくなります。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

ちがう面の上の点をそのまま結ぶな。立体の内部を通る線は、切り口の辺ではない。

• ちがう面の上の点をそのまま結ぶ：立体の内部を通る線は切り口の辺ではない。
• 平行な面の切り口を平行にかかない：ルール2を忘れると形がゆがむ。

練習問題

サクラちゃん

立方体の切り口は、六角形までなんだね。

1. 中学受験 1辺 6 cm の立方体を、1つの頂点に集まる3本の辺の中点を通る平面で切りました。切り取った小さいほうの体積を求めなさい。
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   底面 $3\times3\div2$、高さ 3 の三角すい。$4.5\times3\div3=4.5$。答え $4.5\text{ cm}^3$
2. 中学受験 立方体を切ったときの切り口として、正三角形・正方形・正五角形・正六角形のうち、できないものはどれですか。
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   正五角形（五角形はできるが、平行な辺の組ができるので正五角形にはならない）
3. 中学受験 立方体 ABCD-EFGH を3点 B、D、G を通る平面で切ると、切り口は何という形ですか。
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   BD・DG・GB はどれも正方形の対角線。答え 正三角形

関連する公式

• 円錐・角錐の体積（切り取った三角すい）
• オイラーの多面体定理
• 三平方の定理（切り口の辺の長さ）
• 相似比と面積比・体積比
• すい体の切断と体積比
• 積み木の個数
• 立方体の切断面の形

よくある質問

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