積み木の個数の解き方と公式｜見えない積み木の数え方・色のついた面（3面・2面・1面・0面）【中学受験】

うかるくん

うしろにかくれた積み木が、どうしても数えられないよ。

合格先生

上から見た図をかいて、ますごとに積んだ個数を書くんだ。たせば全部だぞ。

積み木の個数と色のついた面の公式

小さな立方体（積み木）を積んだ問題は、見えない積み木を数えわすれないことがいちばん大事です。上から見た図に「積んだ個数」を書きこむと、もれなく数えられます。

なぜそうなるのか

3面・2面・1面・0面の数

• 3面：3つの面が集まるのは立方体の角（頂点）だけ。立方体の頂点は 8 つなので、いつも 8 個。
• 2面：立方体の辺の上にあって、角でないもの。1本の辺には $n$ 個ならび、両はしの角2個を除くと $(n-2)$ 個。辺は 12 本なので $12\times(n-2)$ 個。
• 1面：立方体の面の上にあって、まわりのふちでないもの。1つの面で、ふちを1列ずつ除くと $(n-2)\times(n-2)$ 個。面は 6 つなので $6\times(n-2)\times(n-2)$ 個。
• 0面：外側を1皮むいた、内側の立方体。1辺が $(n-2)$ 個なので $(n-2)\times(n-2)\times(n-2)$ 個。外からは見えない積み木です。

4つをたすと、ちゃんと全部の個数 $n\times n\times n$ になります（上の表の「合計」）。

上から見た図に個数を書くわけ

斜めから見た図では、うしろや下の積み木が前の積み木にかくれて見えません。そこで、上から見た図の1ますごとに「何個積んであるか」を書きこみます。こうすると、1つのますの上にある積み木は1回ずつだけ数えられるので、もれも重なりもありません。

表面積を6方向から数えるわけ

へこみのない積み木の立体なら、上・下・前・後ろ・右・左の6方向から見たとき、外に出ている面はどれかの方向から必ず1回だけ見えます。上と下、前と後ろ、右と左は同じ数なので、(上＋前＋横)×2 で表面積が出ます。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

2面ぬられたものは 12×n ではない。辺の両はしは角だから $12\times(n-2)$ だ。

• 見えている積み木だけ数える：下やうしろにかくれた積み木がある。上から見た図に個数を書きこむ。
• 2面の数を 12×n にする：1本の辺の両はしは角（3面）なので、$12\times(n-2)$。
• 表面積で「下」の面を忘れる：床に接する面もふくむときは、上と同じ数を下にもたす。

練習問題

サクラちゃん

角・辺・面・内側に分けて数えよう！

1. 中学受験 1辺に5個ならぶ立方体（125個）の外側をぬってばらばらにしました。2面だけぬられたもの、1面だけぬられたもの、ぬられていないものは、それぞれ何個ですか。
   答えと解説を見る

   2面：12×(5−2)＝36 個。1面：6×3×3＝54 個。0面：3×3×3＝27 個（角の8個とあわせて 8＋36＋54＋27＝125）。答え 36個、54個、27個
2. 中学受験 外側をぬった大きな立方体をばらばらにすると、1面だけぬられた立方体が 54 個ありました。大きな立方体は1辺に何個ならんでいましたか。
   答えと解説を見る

   1面は 6×(n−2)×(n−2) 個。54÷6＝9＝3×3 なので n−2＝3、n＝5。答え 5個
3. 中学受験 1辺 1 cm の立方体を、下から 9 個（3×3）、4 個（2×2）、1 個と、角をそろえて3段に積みました。個数と表面積（床に接する面もふくむ）を求めなさい。
   答えと解説を見る

   個数 9＋4＋1＝14 個。上から 9 面、前から 1＋2＋3＝6 面、横から 6 面。(9＋6＋6)×2＝42。答え 14個、42 cm²

関連する公式

• 立方体の展開図
• サイコロの目
• 立体の表面積
• 立体の切断
• 方陣算（まわりと内側を分けて数える）
• 等差数列の和の公式（階段の面の数）
• 投影図

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）