立体の表面積の求め方｜円柱・円錐・角柱・角錐の公式と展開図・円錐の側面積πrℓの証明と例題【中学受験〜高校受験】

中学受験高校受験

\text{表面積}=\text{側面積}+\text{底面積},\quad \text{円錐の側面積}=\pi r\ell

柱：側面積＝底面の周×高さ、底面は2つ。錐：底面は1つ

この公式のポイント

表面積＝展開図の面積＝側面積＋底面積
柱の側面積＝底面の周の長さ×高さ、底面は2つ
円錐の側面積＝ $\pi r\ell$ （母線×半径×円周率）
おうぎ形の中心角＝ $360^\circ\times\dfrac{r}{\ell}$

うかるくん

円錐の側面積 $\pi r\ell$ の $\ell$ って、高さのこと？

合格先生

高さではなく母線だ。頂点から底面の円周までの、ななめの長さだぞ。

立体の表面積の公式

表面積は、立体のすべての面の面積の合計です。展開図（立体を切り開いて平らにした図）の面積と同じなので、側面と底面に分けて求めます。

表面積＝側面積＋底面積

角柱・円柱：表面積＝側面積＋底面積×2、側面積＝底面の周の長さ×高さ
円柱（半径 $r$ 、高さ $h$ ）： $S=2\pi rh+2\pi r^2$
角錐・円錐：表面積＝側面積＋底面積（底面は1つ）
円錐（底面の半径 $r$ 、母線 $\ell$ ）：側面積＝ $\pi r\ell$ 、 $S=\pi r\ell+\pi r^2$
円錐の展開図のおうぎ形の中心角＝ $360^\circ\times\dfrac{r}{\ell}$

円柱の展開図。側面の長方形の横は、底面の円周と同じ長さ

証明

柱の側面積＝底面の周の長さ×高さ

角柱の側面は、高さ $h$ の長方形が底面の辺の数だけ並んだものです。展開すると、それらがつながってたて $h$ 、横＝底面の辺の長さの合計（周の長さ）の1つの長方形になります。円柱でも、側面を切り開くと長方形になり、横は底面の円のまわりにぴったり巻きついていたので円周 $2\pi r$ と同じ長さです。よって側面積は $2\pi r\times h=2\pi rh$ 。

円錐の側面積＝πrℓ

円錐の側面を開くと、半径が母線 $\ell$ のおうぎ形になります。このおうぎ形の弧は、底面の円のまわりに巻きついていたので、弧の長さ＝底面の円周 $2\pi r$ です。

おうぎ形の面積や中心角は弧の長さに比例します。半径 $\ell$ の円全体の円周は $2\pi\ell$ なので、おうぎ形は円全体の $\dfrac{2\pi r}{2\pi\ell}=\dfrac{r}{\ell}$ にあたります。よって

\text{側面積}=\pi\ell^2\times\frac{r}{\ell}=\pi r\ell,\qquad \text{中心角}=360^\circ\times\frac{r}{\ell}

（別の見方：おうぎ形の面積は $\dfrac12\times\text{弧の長さ}\times\text{半径}$ なので $\dfrac12\times2\pi r\times\ell=\pi r\ell$ 。おうぎ形の面積を参照。）

算数では「側面積＝母線×半径×円周率」と覚えます。

円錐の展開図。おうぎ形の弧の長さは底面の円周と等しい

正四角錐の展開図。底面の正方形と、合同な二等辺三角形4つ

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（円柱）

底面の半径が 3 cm、高さが 5 cm の円柱の表面積を求めなさい。円周率は 3.14 とします。

解き方

側面：横は円周 $3\times2\times3.14=18.84$ cm なので $18.84\times5=94.2$ cm²。

底面2つ： $3\times3\times3.14\times2=56.52$ cm²。合計 $94.2+56.52=150.72$ cm²。

答え　150.72 cm²

中学受験

例題2（円錐）

母線の長さが 9 cm、底面の半径が 3 cm の円錐の表面積を求めなさい。円周率は 3.14 とします。

解き方

側面積＝母線×半径×円周率＝ $9\times3\times3.14=84.78$ cm²。

底面積＝ $3\times3\times3.14=28.26$ cm²。合計 $84.78+28.26=113.04$ cm²。（展開図のおうぎ形の中心角は $360\times\dfrac39=120$ 度）

答え　113.04 cm²

高校受験（中学数学）での使い方

中学1年で柱体・錐体の表面積を学びます。答えは $\pi$ を使って表します。母線が分からないときは、中学3年で学ぶ三平方の定理で求めます。

高校受験

例題3（正四角錐）

底面が1辺 6 cm の正方形で、側面の二等辺三角形の高さが 5 cm の正四角錐の表面積を求めなさい。

解き方

底面 $6\times6=36$ 。側面は $\dfrac12\times6\times5=15$ の三角形が4つで $60$ 。合計 $36+60=96$ 。

答え　96 cm²

高校受験

例題4（円錐・三平方の定理）

底面の半径が 5 cm、高さが 12 cm の円錐の表面積を求めなさい。

解き方

母線は $\ell=\sqrt{5^2+12^2}=13$ 。側面積 $\pi\times5\times13=65\pi$ 、底面積 $25\pi$ 。合計 $90\pi$ 。

答え　 $90\pi$ cm²

よくある間違い

合格先生

中心角を $360^\circ\times\dfrac{\ell}{r}$ にするのは×。 $\dfrac{r}{\ell}$ が正しい。

柱の底面を1つしか足さない：角柱・円柱は底面が上下に2つ。
円錐で高さと母線を取りちがえる：側面積 $\pi r\ell$ の $\ell$ は、頂点から底面の円周までの母線。高さではありません。
中心角を $360^\circ\times\dfrac{\ell}{r}$ とする：正しくは $\dfrac{r}{\ell}$ （半径÷母線）。中心角は360°より小さくなります。

練習問題

うかるくん

柱は底面が上下に2つ、もう忘れないぞ。

中学受験 1辺が 4 cm の立方体の表面積を求めなさい。
答えと解説を見る
正方形6つ。 $4\times4\times6=96$ 。答え 96 cm²
中学受験底面の半径が 2 cm、高さが 6 cm の円柱の表面積を求めなさい（円周率 3.14）。
答えと解説を見る
側面 $2\times2\times3.14\times6=75.36$ 、底面2つ $2\times2\times3.14\times2=25.12$ 。合計 100.48 cm²
高校受験底面の半径が 4 cm、母線が 10 cm の円錐について、展開図のおうぎ形の中心角と表面積を求めなさい。
答えと解説を見る
中心角 $360^\circ\times\dfrac{4}{10}=144^\circ$ 。側面積 $\pi\times4\times10=40\pi$ 、底面積 $16\pi$ 。表面積 $56\pi$ cm²

よくある質問

表面積とは？

立体のすべての面の面積の合計です。展開図の面積と同じなので、側面積と底面積に分けて求めます。

円柱の表面積の公式は？

底面の半径 r、高さ h のとき 2πrh＋2πr² です。側面は横が円周 2πr、たてが h の長方形になります。

円錐の側面積はなぜ πrℓ なのですか？

側面を開くと半径 ℓ のおうぎ形になり、その弧の長さは底面の円周 2πr と等しいので、円全体 πℓ² の r/ℓ にあたり、πℓ²×r/ℓ＝πrℓ になるからです。

円錐の展開図の中心角の求め方は？

360°×（底面の半径÷母線）で求めます。