円すいの展開図の解き方と公式｜中心角＝360°×半径÷母線の理由・側面積・転がす問題とひもの最短の例題【中学受験〜高校受験】

円すいの展開図の解き方と公式｜中心角＝360°×半径÷母線の理由・側面積・転がす問題とひもの最短の例題【中学受験〜高校受験】

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中学受験高校受験

中心角=360∘×底面の半径母線\text{中心角}=360^\circ\times\frac{\text{底面の半径}}{\text{母線}}

側面積＝母線×底面の半径×円周率

この公式のポイント

  • 側面は半径が母線のおうぎ形
  • おうぎ形の弧＝底面の円周
  • 中心角＝360°×半径÷母線
  • 側面積＝母線×半径×3.14（中心角はいらない）
うかるくん

うかるくん

円すいの展開図の中心角って、どうして半径÷母線で出せるの？

合格先生

合格先生

組み立てると、おうぎ形の弧が底面の円周にぴったり重なる。だから弧の長さの割合が、そのまま中心角の割合になるんだ。

円すいの展開図の公式

円すいを切り開くと、側面はおうぎ形、底面は円になります。おうぎ形の半径は円すいの母線（頂点から底面のふちまでの長さ）です。

円すいの展開図

中心角=360∘×底面の半径母線\text{中心角}=360^\circ\times\frac{\text{底面の半径}}{\text{母線}}

側面積=母線×底面の半径×3.14\text{側面積}=\text{母線}\times\text{底面の半径}\times3.14

表面積＝側面積＋底面積（底面の半径×底面の半径×3.14）

144°母線10cm4cm側面（おうぎ形）底面赤い2つの線は同じ長さ
母線10cm・半径4cmの円すいの展開図。おうぎ形の弧と底面の円周は同じ長さ

なぜその式になるのか

展開図を組み立てると、おうぎ形の弧が、底面の円のまわりにぴったり重なります。だから、

おうぎ形の弧の長さ ＝ 底面の円周

おうぎ形は、母線を半径とする大きな円の一部です。大きな円の円周は「母線×2×3.14」、おうぎ形の弧は「底面の半径×2×3.14」。どちらにも「×2×3.14」があるので、弧は大きな円の円周の（底面の半径÷母線）倍です。

おうぎ形の弧が円周の何倍かと、中心角が 360° の何倍かは同じです。だから中心角＝360°×底面の半径÷母線になります。

半径＝母線弧＝底面の円周点線の円の円周母線×2×3.14おうぎ形の弧半径×2×3.14弧は円周の半径÷母線（倍）中心角＝360°×半径÷母線
弧が円周の何倍かと、中心角が360°の何倍かは同じ

側面積の式

側面のおうぎ形の面積は、大きな円の面積（母線×母線×3.14）の（底面の半径÷母線）倍です。

母線×母線×3.14×底面の半径÷母線 ＝ 母線×底面の半径×3.14

母線で1回かけて1回わるので、母線が1つ消えます。中心角を求めなくても、側面積がすぐ出せます（中学では πrℓ\pi r\ell と書きます。立体の表面積も見てください）。

中学受験（算数）での使い方

円周率は3.14とします。

中学受験

例題1（中心角と表面積）

母線が 10 cm、底面の半径が 4 cm の円すいがあります。（1）展開図の側面のおうぎ形の中心角は何度ですか。（2）表面積を求めなさい。

解き方

（1）360×4÷10=144360\times4\div10=144（度）。

（2）側面積 10×4×3.1410\times4\times3.14、底面積 4×4×3.144\times4\times3.14。まとめて (40+16)×3.14=56×3.14=175.84(40+16)\times3.14=56\times3.14=175.84（cm²）。

答え　（1）144∘144^\circ　（2）175.84175.84 cm²

頂点母線15cm上から見た図えがく円の円周15×2×3.14底面の円周5×2×3.1415÷5＝3回転
頂点を中心に転がすと、底面のふちは半径が母線の円をえがく
中学受験

例題2（円すいを転がす）

母線が 15 cm、底面の半径が 5 cm の円すいを、横にたおして頂点を中心に、すべらないように転がします。円すいがもとの位置にもどるまでに、何回転しますか。

解き方

底面のふちは、半径が母線 15 cm の円をえがく。その円周は 15×2×3.1415\times2\times3.14。

1回転で進むのは底面の円周 5×2×3.145\times2\times3.14。「×2×3.14」が同じなので 15÷5=315\div5=3（回転）。

答え　3回転

60°AA'12cm12cmいちばん短いひも＝12cm正三角形になる
展開図で A と A′ を直線で結ぶと、いちばん短いひも
中学受験

例題3（ひもの最短）

母線が 12 cm、底面の半径が 2 cm の円すいがあります。底面のふちの点 A から、側面をちょうど1周して A にもどるようにひもをかけます。ひもがいちばん短くなるときの長さを求めなさい。

解き方

中心角は 360×2÷12=60360\times2\div12=60（度）。展開図で A と A′ をまっすぐ結ぶ線がいちばん短い。

頂点と A、A′ でできる三角形は、2辺が 12 cm で間の角が 60° なので正三角形。ひもは 12 cm。

答え　1212 cm

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題4（展開図から円すいを考える）

半径 9 cm、中心角 120° のおうぎ形を側面とする円すいがあります。底面の半径と表面積を求めなさい（円周率は π\pi）。

解き方

底面の半径を rr とすると、360×r9=120360\times\dfrac{r}{9}=120 より r=3r=3（cm）。

側面積 π×9×3=27π\pi\times9\times3=27\pi、底面積 9π9\pi。表面積は 36π36\pi cm²。

答え　半径 33 cm、表面積 36π36\pi cm²

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

側面のおうぎ形の半径は母線だぞ。底面の半径とまちがえるな。中心角は必ず360°より小さくなる。

  • おうぎ形の半径を底面の半径にする：側面のおうぎ形の半径は母線。
  • 中心角の式で分数を逆にする：中心角＝360°×底面の半径÷母線。母線のほうが長いので、答えは必ず 360° より小さい。
  • 表面積で底面を足し忘れる：表面積＝側面積＋底面積。

練習問題

ひらめいたうかるくん

うかるくん

側面積は母線×半径×3.14で、中心角がなくても出せるね。

  1. 中学受験 母線が 8 cm、底面の半径が 2 cm の円すいの、展開図のおうぎ形の中心角は？
    答えと解説を見る360×2÷8=90360\times2\div8=90。答え 90∘90^\circ
  2. 中学受験 母線が 6 cm、底面の半径が 2 cm の円すいの側面積は？（円周率3.14）
    答えと解説を見る母線×半径×3.14＝6×2×3.14=37.686\times2\times3.14=37.68。答え 37.6837.68 cm²
  3. 高校受験 底面の半径が 5 cm、母線が 13 cm の円すいの表面積は？（円周率は π\pi）
    答えと解説を見る側面積 π×13×5=65π\pi\times13\times5=65\pi、底面積 25π25\pi。答え 90π90\pi cm²

関連する公式

よくある質問

円すいの展開図の中心角の求め方は？

中心角＝360°×底面の半径÷母線 で求めます。おうぎ形の弧の長さが底面の円周と同じになることから出てくる式です。

円すいの側面積の求め方は？

母線×底面の半径×円周率 で求められます。中心角を出さなくてもかまいません。

円すいを転がすと何回転しますか？

頂点を中心に転がすと、底面のふちは母線を半径とする円をえがくので、母線÷底面の半径（回転）でもとにもどります。

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出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第1学年（柱体や錐体の表面積と体積）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦