立体の表面を通るひもの最短の解き方と公式｜展開図で直線になる理由・円すいを1周するひも・直方体の3通りの例題【中学受験〜高校受験】

Q: 円すいの側面を1周するひもはどう考えますか？

側面のおうぎ形の中心角を 360°×底面の半径÷母線 で求め、展開図の両はしの点を直線で結びます。中心角が90°なら直角二等辺三角形になります。

中学受験高校受験

\text{最短のひも}=\text{展開図で2点を結ぶ直線}

通る面をつなげて開き、直線で結ぶ

この公式のポイント

最短のひもは展開図で直線
辺を横切る位置は相似で求める
直方体は展開図が3通り。くらべて最短をえらぶ
円すいは中心角＝360°×半径÷母線

うかるくん

立体にかけたひもって、どうなったときがいちばん短いの？

合格先生

ひもが通る面をつなげて展開図をかき、2つの点を直線で結ぶ。平らな紙の上では、まっすぐな線がいちばん短いからだ。

ひもの最短の考え方

立体の表面にそって、ある点から別の点までひもをかけるとき、ひもがいちばん短くなるのはどんなときでしょうか。答えは「展開図をかくと、ひもがまっすぐ（直線）になるとき」です。

立体の表面を通るひもの最短

ひもが通る面だけをつなげた展開図をかく
はじめの点と終わりの点を直線で結ぶ → それが最短のひも
辺を横切る点の位置は、展開図の相似（形が同じ三角形）で求める
長さそのものは、中学で習う三平方の定理で求める

左の見取り図では折れ曲がって見えるひもも、展開図では A と G を結ぶ1本の直線になる

なぜ展開図で直線になるのか

ひもは面の上をはっているので、面を開いて平らにしても、ひもの長さは変わりません。つまり「立体の上のひもの長さ」は「展開図の上の線の長さ」と同じです。

平らな紙の上で2つの点を結ぶ線のうち、いちばん短いのはまっすぐな線です。曲がったり折れたりした線は、どれもまっすぐな線より長くなります。だから、展開図で直線になるようにひもをかけたときが最短です。

ただし、どの面を通るかで展開図のつなぎ方が変わります。直方体の頂点 A から反対側の頂点 G までなら、ひもがまたぐ辺のえらび方で展開図は3通りあります。それぞれの直線をくらべて、いちばん短いものが答えです（下の図3）。

円すいの側面を1周するひも

円すいの側面を開くとおうぎ形になり、その中心角は「360°×底面の半径÷母線」です（円すいの展開図）。底面の円周上の点 A から側面を1周して A にもどるひもは、展開図では A と A' を結ぶ直線（弦）になります。中心角が 90° なら、三角形 OAA' は直角二等辺三角形です。

円すいを母線 OA で切って開く。1周するひもは、おうぎ形の両はしの点 A と A′ を結ぶ直線

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（直方体・辺を横切る点）

たて 6cm（AB）、横 4cm（BC）、高さ 5cm（AE）の直方体 ABCD−EFGH があります。頂点 A から辺 BF 上の点 P を通って頂点 G まで、ひもがいちばん短くなるようにかけます。BP の長さは何 cm ですか。

解き方

前の面 ABFE と右の面 BCGF をつなげた展開図をかくと、ひもは A と G を結ぶ直線です。三角形 ABP と三角形 ACG は形が同じ（相似）で、AB：AC＝6：(6＋4)＝6：10。

だから BP：CG＝6：10。CG＝5cm なので BP＝5×6÷10＝3cm。

答え　 $3$ cm

中学受験

例題2（円すいを1周するひも）

母線の長さが 12cm、底面の半径が 3cm の円すいがあります。底面の円周上の点 A から、側面を1周して A にもどるように、ひもをいちばん短くかけます。側面のうち、ひもより下（底面がわ）の部分の面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。

解き方

展開図のおうぎ形の中心角は 360×3÷12＝90（度）。最短のひもは弦 AA′ で、三角形 OAA′ は直角二等辺三角形です。面積は 12×12÷2＝72（cm²）。

側面積は母線×半径×3.14＝12×3×3.14＝113.04（cm²）。ひもより下の部分は 113.04−72＝41.04（cm²）。

答え　 $41.04$ cm²

高校受験（中学数学）での使い方

中学3年で三平方の定理を習うと、ひもの長さそのものが求められます。展開図の直線を、直角三角形の斜辺と見ます。

A から G へのひもは、通る面の組み合わせで3通り。長方形の対角線の長さをくらべる

高校受験

例題3（3通りの展開図をくらべる）

AB＝6cm、BC＝4cm、AE＝5cm の直方体 ABCD−EFGH で、頂点 A から表面にそって頂点 G までひもをかけます。ひもの長さの最小値を求めなさい。

解き方

ひもがまたぐ辺で、展開図の長方形は3通り。

前＋右： $\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{125}$ 、上＋右： $\sqrt{11^2+4^2}=\sqrt{137}$ 、上＋後： $\sqrt{9^2+6^2}=\sqrt{117}$ 。

いちばん小さいのは $\sqrt{117}=3\sqrt{13}$ （cm）。

答え　 $3\sqrt{13}$ cm

よくある間違い

合格先生

見取り図の上で線を引くのはだめだ。ななめから見た絵なので、長さも角度も正しくない。必ず展開図で考えよう。

見取り図の上で直線を引く：見取り図はななめから見た絵なので、長さも角度も正しくない。必ず展開図で考える。
展開図を1通りしか考えない：直方体では、どの辺をまたぐかで長さが変わる。3通りをくらべる。
おうぎ形の半径を底面の半径とまちがえる：円すいの側面のおうぎ形の半径は母線。中心角は 360°×底面の半径÷母線。

練習問題

サクラちゃん

まず、ひもが通る面だけを開いてみよう！

中学受験 AB＝4cm、BC＝8cm、AE＝6cm の直方体 ABCD−EFGH で、頂点 A から辺 BF 上の点 P を通って頂点 G まで、ひもをいちばん短くかけます。BP は何 cm ですか。
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展開図で BP：CG＝AB：(AB＋BC)＝4：12＝1：3。BP＝6÷3＝2。答え $2$ cm
中学受験母線が 8cm、底面の半径が 2cm の円すいで、底面の円周上の点 A から側面を1周して A にもどるひもをいちばん短くかけます。展開図で、ひもと2本の母線で囲まれた三角形の面積は何 cm² ですか。
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中心角は 360×2÷8＝90（度）。直角二等辺三角形なので 8×8÷2＝32。答え $32$ cm²
高校受験高さ 20cm、底面の円周が 7.5cm の円柱があります。底面の点 A から、側面をちょうど2周して A の真上の上の面の点 B まで、ひもをいちばん短く巻きます。ひもの長さを求めなさい。
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側面を開くと、横 $7.5\times2=15$ 、たて 20 の長方形の対角線。 $\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{625}=25$ 。答え $25$ cm

よくある質問

立体の表面のひもが最短になるのはどんなときですか？

ひもが通る面をつなげた展開図をかいたとき、はじめの点と終わりの点を結ぶ線が直線になっているときです。

なぜ展開図で直線にすると最短なのですか？

面を開いてもひもの長さは変わらず、平らな面の上では2点を結ぶ線のうち直線がいちばん短いからです。

直方体で頂点から頂点へのひもは、どう求めますか？

ひもがまたぐ辺のえらび方で展開図が3通りあるので、それぞれの長方形の対角線の長さをくらべ、いちばん短いものを答えます。

円すいの側面を1周するひもはどう考えますか？

側面のおうぎ形の中心角を 360°×底面の半径÷母線で求め、展開図の両はしの点を直線で結びます。中心角が90°なら直角二等辺三角形になります。