相似比と面積比・体積比｜m:n なら面積比m²:n²・体積比m³:n³ になる理由と例題【中学受験〜大学受験】

うかるくん

相似比が2倍なら、面積も2倍になるんじゃないの？

合格先生

面積は長さ×長さだから $k^2$ 倍、体積は長さを3回かけるから $k^3$ 倍になるんだ。

相似比と面積比・体積比の関係

形が同じで大きさだけがちがう図形を相似な図形といい、対応する辺の長さの比を相似比といいます。相似比が分かると、面積の比と体積の比も一気に分かります。

なぜ2乗・3乗になるのか

面積は「長さ×長さ」なので、たても横も $k$ 倍になれば $k\times k=k^2$ 倍。体積は「長さ×長さ×長さ」なので $k^3$ 倍です。三角形や円のように形がちがっても、相似なら同じことが成り立ちます（円の面積 $\pi r^2$ も、半径を2倍にすると4倍）。

中学受験（算数）での使い方

小学6年で拡大図・縮図を学びます。中学受験では、三角形の中に平行線がある「ピラミッド形」「ちょうちょ形（砂時計形）」の相似と、面積比の問題が非常によく出ます。

高校受験（中学3年）での使い方

相似は中学3年で学びます。高校入試では、三角形の相似の証明、平行線と線分の比、そして立体の切断と体積比がよく出ます。

大学受験での使い方

高校数学でも、空間図形・ベクトル・積分（回転体の体積）で相似の考え方を使います。特に「表面積の比から体積比を出す」「切断面で分けた体積の比」は、共通テストでもねらわれます。

よくある間違い

合格先生

面積比 $4:9$ をそのまま相似比にしてはいけない。平方根をとって相似比は $2:3$ だ。

• 面積比をそのまま相似比にする：面積比 $4:9$ の相似比は $2:3$（平方根をとる）。
• 台形部分の比：ピラミッド形の下の台形は「大きい三角形−小さい三角形」で求める。
• 相似でない図形に使う：たてだけ2倍にした長方形は相似ではありません（面積は2倍）。

練習問題

合格先生

2乗か3乗か、まず確かめてから解こう。

1. 中学受験 半径 2 cm の円と半径 6 cm の円の面積の比を求めなさい。
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   相似比 $1:3$ なので面積比 $1:9$。答え $1:9$
2. 高校受験 相似な2つの三角形の面積が $18\text{ cm}^2$ と $50\text{ cm}^2$ です。相似比を求めなさい。
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   $18:50=9:25=3^2:5^2$ なので相似比は $3:5$。答え $3:5$
3. 高校受験 高さ 12 cm の円錐の容器に、深さ 4 cm まで水を入れました。水の体積は容器いっぱいの何分のいくつですか。（頂点を下にした容器）
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   水の形は容器と相似で、相似比 $4:12=1:3$、体積比 $1:27$。答え $\dfrac{1}{27}$

関連する公式

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• 平行線と角・三角形の内角の和
• 円錐・角錐の体積
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• 等積変形
• すい体の切断と体積比
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よくある質問

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