正六角形の面積の解き方と公式｜正三角形6つ・24等分で分ける理由、三角形ACE＝1/2・ABC＝1/6と例題【中学受験】

うかるくん

正六角形の1辺の長さが分からないと、面積は出せないの？

合格先生

全体の面積が分かれば十分だ。正三角形6つ、さらに24こに分けて、何分のいくつかで考えよう。

正六角形の面積の分け方

正六角形の面積の問題は、小さな正三角形に分けると、ほとんどが「全体の何分のいくつか」で解けます。正六角形の1辺の長さが分からなくても、全体の面積さえ分かれば答えが出ます。

なぜその割合になるのか

正三角形6つになる理由

正六角形の1つの角は 120° です（多角形の内角の和：$180\times4\div6=120$）。中心 O と6つの頂点を結ぶと、O のまわりの 360° が6等分されて、どの三角形も O の角が 60° になります。O から頂点までの長さはみな同じなので、残りの2つの角も 60° ずつ。だから6つとも同じ大きさの正三角形です。

正三角形の各辺の真ん中どうしを結ぶと、同じ大きさの小さい正三角形が4つできます。6×4＝24個です。

三角形ABCが全体の 1/6 になる理由

A、B、C と中心 O を結んだ四角形 ABCO は、4つの辺がどれも正三角形の1辺なのでひし形です。ひし形は対角線 AC で同じ形の2つに分かれます。ひし形は正三角形2つ分なので、三角形 ABC は正三角形1つ分＝全体の 1/6 です。

三角形ACEが全体の 1/2 になる理由

正六角形から三角形 ACE を取ると、三角形 ABC・CDE・EFA が残ります。どれも三角形 ABC と同じ形で、全体の 1/6。3つで 1/2 なので、三角形 ACE は 1−1/2＝1/2 です。

長方形ABDEが全体の 2/3 になる理由

正六角形から長方形 ABDE を取ると、三角形 BCD と三角形 EFA が残ります。どちらも 1/6 なので、長方形は 1−1/6×2＝2/3 です。

平行な辺を使う（等積変形）

正六角形の向かい合う辺は平行です（AB と ED、BC と FE、CD と AF）。底辺が同じで、頂点が平行な線の上を動いても、高さは変わらないので面積も変わりません（等積変形）。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

三角形ABCは正三角形ではないぞ。角Bは120°だ。面積が正三角形1つ分と同じなだけだ。

• 三角形ABCを正三角形と思う：AB＝BC だが角 B は 120°。面積は正三角形1つ分と同じでも、形はちがう。
• 24等分の1つを 1/6 とする：中心と頂点で分けた正三角形が 1/6、それを4つに分けた1つは 1/24。
• 1辺の長さから面積を出そうとして止まる：小学生の問題は、全体の面積をもとに「何分のいくつ」で考える。

練習問題

サクラちゃん

向かい合う辺は平行、これを使えば形を動かせるよ！

1. 中学受験 面積が 72 cm² の正六角形 ABCDEF で、三角形 ACE の面積は？
   答えと解説を見る

   全体の 1/2。$72\div2=36$。答え $36$ cm²
2. 中学受験 面積が 72 cm² の正六角形 ABCDEF で、三角形 ABC の面積は？
   答えと解説を見る

   全体の 1/6。$72\div6=12$。答え $12$ cm²
3. 中学受験 面積が 72 cm² の正六角形 ABCDEF で、辺 DE の真ん中の点を N とするとき、三角形 ABN の面積は？
   答えと解説を見る

   AB と DE は平行なので、三角形 ABN＝三角形 ABD。これは長方形 ABDE（全体の 2/3 で 48 cm²）の半分。答え $24$ cm²

関連する公式

• 多角形の内角の和・外角の和
• 等積変形
• 面積比と辺の比
• 三角形・平行四辺形の面積
• 図形が通過する範囲

よくある質問

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