図形が通過する範囲の解き方と公式｜円の移動（外側・内側を1周）・正方形の回転で通過する部分の面積と例題【中学受験】

うかるくん

円が正方形の外側を1周すると、角のところはどんな形になるの？

合格先生

角では円が角の点をくっつけたまま回る。だから半径が直径のおうぎ形ができて、4つ合わせると円1つ分だ。

図形が通過する範囲の求め方

円や正方形がすべるように動いたり、回ったりしたときに、図形が通ったところ全部の面積を求める問題です。いきなり式を作らず、はじめの位置・終わりの位置・とちゅうの位置を何か所か書きこんで、通った形の「外側の線」を見つけるのがコツです。

なぜその形になるのか

円がまっすぐ動くとき

円の中心に注目します。円が通るのは、中心からの長さが半径以内のところです。中心がまっすぐ10cm動くと、その線の上と下に半径の分だけはみ出すので、たてが直径の長方形ができます。さらに、出発したときの円の左半分と、着いたときの円の右半分がはみ出します。この半円2つを合わせると、ちょうど円1つです。

多角形の外側を1周するとき

辺にそって動いている間は、まっすぐ動くときと同じで、幅が直径の長方形がつながります。角を曲がるときは、円は角の点をくっつけたまま回るので、角のまわりに半径が直径（半径の2倍）のおうぎ形ができます。外側を1周すると向きが1回転するので、角のおうぎ形を全部合わせると円1つ分になります（転がる円で中心の道のりに円周1つ分が足されるのと同じ理由です）。

内側を1周するとき

内側では、円は角のおくまで入れません。円の中心は、角から半径の分だけはなれたところで向きを変えるので、角には1辺が半径の正方形から四分円をひいた形のすき間が残ります。また、まん中にも円がとどかない正方形が残ります。まん中の正方形の1辺は、もとの1辺から直径2つ分をひいた長さです。

正方形が頂点のまわりに回るとき

回る中心 O からいちばん遠い点は、O と向かい合う頂点（対角線のはし）です。この点が動いたあとが、通過する範囲のいちばん外側の線になり、半径が対角線のおうぎ形になります。その両わきに、はじめと終わりの正方形の半分（三角形）がつきます。三角形2つで正方形1つ分です。対角線の長さが分からなくても、対角線×対角線＝正方形の面積×2（正方形はひし形でもあるので、対角線×対角線÷2＝面積）を使えば、おうぎ形の面積が出せます。

中学受験（算数）での使い方

円周率は3.14とします。

よくある間違い

合格先生

外側の角のおうぎ形は、半径が円の半径ではなく直径だ。内側を回るときは、角のすき間をひき忘れるなよ。

• 両はしの半円を忘れる：まっすぐ動くときも、出発と到着の円の外側半分ははみ出す。
• 外側の角のおうぎ形の半径を、円の半径にする：角のおうぎ形の半径は直径（半径の2倍）。
• 内側の角のすき間をひき忘れる：円は角のおくまで入れない。

練習問題

サクラちゃん

はじめと終わりの位置を書きこんでから考えよう！

1. 中学受験 半径 3 cm の円が、中心が 8 cm 動くようにまっすぐ動きました。通過した部分の面積は？（円周率3.14）
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   長方形 $6\times8=48$、円1つ $3\times3\times3.14=28.26$。答え $76.26$ cm²
2. 中学受験 半径 1 cm の円が、たて 6 cm・横 8 cm の長方形の外側を1周しました。通過した部分の面積は？
   答えと解説を見る

   帯：幅2 cm で、まわりの長さ $6+8+6+8=28$ cm 分。$2\times28=56$。角は半径2 cm の円1つで $12.56$。答え $68.56$ cm²
3. 中学受験 1辺 4 cm の正方形を、1つの頂点を中心に 90° 回しました。通過した部分の面積は？
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   正方形1つ分 16。対角線×対角線＝$16\times2=32$ で、おうぎ形 $32\times3.14\div4=25.12$。答え $41.12$ cm²

関連する公式

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よくある質問

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