転がる円の問題の解き方｜中心の道のり＝周＋円周1つ分の理由・内側を回るとき・同じ円のまわりで2回転する例題【中学受験】

うかるくん

円が図形の外側を1周すると、なんで回転数が増えるの？

合格先生

円は中心の動きで考えるんだ。外側を回ると、角の弧が合わせて円1つ分足されるぞ。

転がる円の公式

円が図形の辺にそってすべらずに転がるとき、円の中心の動きに注目します。

なぜ角のところで円1つ分が足されるのか

辺にそって転がるあいだ、中心は辺と平行に、辺と同じ長さだけ動きます。角では、円は角の頂点を中心にくるりと回るので、中心は半径2 cm のおうぎ形の弧をえがきます。正方形の外角は $90^\circ$ で、4つの角の外角の和は $360^\circ$。だから4つの弧を合わせると、ちょうど半径2 cm の円1つ分です。どんな多角形でも外角の和は $360^\circ$ なので、同じことが言えます。

回転数のふしぎ

同じ大きさの円のまわりを1周すると、ふれ合っている円周は1周分なのに2回転します。中心が半径 $2r$ の円をえがき、道のりは $2\pi\times2r=4\pi r$。これを円周 $2\pi r$ で割ると2。「中心の道のり÷円周」で回転数を数えるのがポイントです。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

回転数を「ふれた長さ÷円周」で数えるのは×だ。中心の道のりで数えるぞ。

• 辺の長さだけ足して角の弧を忘れる：外側を回るときは円1つ分を足す。
• 回転数を「ふれた長さ÷円周」で数える：中心の道のりで数える。

練習問題

サクラちゃん

まず中心の通る道をかいてみよう！

1. 中学受験 半径 1 cm の円が、たて 4 cm・横 6 cm の長方形の外側を1周するとき、中心の道のりは？（円周率3.14）
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   $20+2\times3.14=26.28$。答え $26.28$ cm
2. 中学受験 半径 1 cm の円が、1辺 9 cm の正三角形の外側を1周するとき、中心の道のりは？（円周率3.14）
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   $27+6.28=33.28$。答え $33.28$ cm
3. 中学受験 同じ大きさの円のまわりを、すべらずに半周すると何回転？
   答えと解説を見る

   1周で2回転なので、答え 1回転

関連する公式

• 円の面積と円周
• おうぎ形の面積と弧の長さ
• 多角形の外角の和
• 点の移動とグラフ
• 図形が通過する範囲

よくある質問

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