おうぎ形の面積と弧の長さの公式｜中心角の求め方・S=½ℓr・円錐の展開図と例題【中学受験〜大学受験】

うかるくん

おうぎ形の公式に、なんで $\dfrac{a}{360}$ がつくの？

合格先生

中心角 $a^\circ$ のおうぎ形は、円の $\dfrac{a}{360}$ 倍だからだ。弧も面積も同じ割合になるぞ。

おうぎ形の公式

おうぎ形は、円を2本の半径で切り取った形です。2本の半径がつくる角を中心角、曲線の部分を弧といいます。おうぎ形は「円の $\dfrac{\text{中心角}}{360}$ 倍」と考えると、公式がすぐに作れます。

なぜこの公式になるのか

中心角は円全体で $360^\circ$ です。中心角 $a^\circ$ のおうぎ形は、円を $360$ 等分したものを $a$ 個集めた形なので、弧の長さも面積も、円の $\dfrac{a}{360}$ 倍になります。

$S=\dfrac{1}{2}\ell r$ になる理由は、おうぎ形を細かく切って並べかえると、三角形（たて $r$、底辺 $\ell$）に近い形になるからです。円の面積が「円周×半径÷2」になるのと同じ考え方です。

中学受験（算数）での使い方

小学校の教科書ではおうぎ形の公式を正式には扱いませんが、中学受験では最頻出です。円の一部としての「中心角÷360」の考え方と、3.14の計算の工夫がポイントです。

高校受験（中学1年〜）での使い方

おうぎ形は中学1年で学び、答えは $\pi$ のまま書きます。円錐の展開図では、側面のおうぎ形の弧が底面の円周と等しいことを使います。

大学受験（弧度法）での使い方

高校の数学Ⅱでは角を弧度法（ラジアン）で表します。$180^\circ=\pi$ ラジアンです。中心角を $\theta$（ラジアン）とすると、公式は次のように簡単になります。

よくある間違い

合格先生

まわりの長さで半径2本を忘れるな。まわり＝弧＋半径×2だ。

• まわりの長さで半径2本を忘れる：まわり＝弧＋半径×2。
• 弧の長さで「直径」と「半径」を取りちがえる：弧は「直径×3.14×中心角/360」。
• 度とラジアンを混ぜる：$\ell=r\theta$ の $\theta$ はラジアン。度のまま入れない。

練習問題

サクラちゃん

3.14は最後にまとめてかけると、計算が楽だよ。

1. 中学受験 半径 $5$ cm、中心角 $72^\circ$ のおうぎ形の面積を求めなさい。
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   $5\times5\times3.14\times\dfrac{72}{360}=25\times3.14\div5=5\times3.14=15.7$。答え $15.7$ cm²
2. 高校受験 半径 $8$ cm、面積 $16\pi$ cm² のおうぎ形の中心角を求めなさい。
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   円の面積は $64\pi$。$360\times\dfrac{16\pi}{64\pi}=90$。答え $90^\circ$
3. 大学受験 半径 $r$、弧の長さ $\ell$ のおうぎ形で、まわりの長さが $20$ のとき、面積の最大値を求めなさい。
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   $2r+\ell=20$ より $\ell=20-2r$。$S=\dfrac{1}{2}(20-2r)r=-r^2+10r=-(r-5)^2+25$。$r=5$ で最大値 $25$。答え $25$

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