三角関数のグラフと周期の求め方｜周期2π/kになる理由・振幅・平行移動の読み方と例題【数学Ⅱ・大学受験】

うかるくん

$\sin(2\theta-\dfrac{\pi}{3})$ のグラフは、どれだけずれるの？

合格先生

$2$ でくくって $\sin2(\theta-\dfrac{\pi}{6})$ にする。ずれは $\dfrac{\pi}{6}$ だ。

三角関数のグラフ

$y=\sin\theta$ は、単位円上を回る点の高さ（$y$ 座標）を、回った角 $\theta$ ごとに並べたグラフです。$y=\cos\theta$ は横の位置（$x$ 座標）を並べたもの。円を1周（$2\pi$）すると元の位置にもどるので、グラフは同じ形をくり返します。

弧度法：$\pi$ ラジアン＝$180^\circ$。$\dfrac{\pi}{6}=30^\circ$、$\dfrac{\pi}{4}=45^\circ$、$\dfrac{\pi}{3}=60^\circ$、$\dfrac{\pi}{2}=90^\circ$。

周期・振幅・平行移動の公式

証明：なぜ周期は 2π/k になるのか

$f(\theta)=\sin k\theta$（$k>0$）とします。$\theta$ を $\dfrac{2\pi}{k}$ だけ増やすと、

中身の角 $k\theta$ が $2\pi$ 進めば元の値にもどります。$k\theta$ が $2\pi$ 進むのに必要な $\theta$ の増え方が $\dfrac{2\pi}{k}$ です。また、$\sin x$ の周期は $2\pi$ より短くないので、$\sin k\theta$ の周期もこれより短くなりません。つまり $k$ 倍速く回ると、1周にかかる長さは $\dfrac1k$ になります。

平行移動は「くくってから」読む

$y=\sin(2\theta-\dfrac{\pi}{3})$ は、$y=\sin2\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)$ と$k$ でくくると、$y=\sin2\theta$ を $\theta$ 方向に $\dfrac{\pi}{6}$ ずらしたグラフだと分かります（$\dfrac{\pi}{3}$ ずらすのではありません）。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

合格先生

$\tan$ の周期を $2\pi$ としない。$\tan$ の周期は $\pi$ だ。

• 平行移動の量を読みちがえる：$\sin(2\theta-\dfrac{\pi}{3})$ は $\dfrac{\pi}{6}$ ずらし。$k$ でくくってから読む。
• $2\theta$ の範囲を広げ忘れる：$0\le\theta<2\pi$ なら $0\le2\theta<4\pi$。解が倍に増える。
• $\tan$ の周期を $2\pi$ とする：$\tan$ の周期は $\pi$。

練習問題

うかるくん

周期は $\dfrac{2\pi}{k}$。$k$ 倍速く回るんだね。

1. 大学受験 $y= an3 heta$ の周期を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $dfrac{pi}{3}$
2. 大学受験 $y=-2sindfrac{ heta}{3}$ の振幅と周期を求めなさい。
   答えと解説を見る

   振幅 $2$、周期 $dfrac{2pi}{1/3}=6pi$
3. 大学受験 $y=2sin heta+1$ の最大値と最小値を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $-1lesin hetale1$ より、最大値 $3$、最小値 $-1$

関連する公式

• 三角比の基本公式（単位円での定義）
• 加法定理
• 三角関数の合成（$a\sin\theta+b\cos\theta$ を1つの波に）
• 微分の公式
• 二次関数の頂点（平行移動の考え方が同じ）
• 指数関数・対数関数のグラフ
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