三角関数の加法定理｜sin(α+β)・cos(α+β)の証明（単位円と余弦定理）・覚え方・2倍角と合成の例題【大学受験 数学Ⅱ】

三角関数の加法定理｜sin(α+β)・cos(α+β)の証明（単位円と余弦定理）・覚え方・2倍角と合成の例題【大学受験 数学Ⅱ】

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大学受験

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

この公式のポイント

  • sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta、cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
  • 証明は単位円上の2点の距離を座標と余弦定理の2通りで計算
  • cos⁡\cos だけ符号が逆になる
  • 2倍角・半角・合成の公式はすべて加法定理から出る
うかるくん

うかるくん

加法定理って、どうやって証明するの？丸暗記するしかない？

合格先生

合格先生

単位円上の2点の距離を、座標と余弦定理の2通りで計算しよう。等しいとおけば cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta) の式が出るぞ。

加法定理

2つの角の和や差の三角関数を、それぞれの角の三角関数で表すのが加法定理です。三角関数の公式のほとんど（2倍角・半角・合成・和と積の公式）は、ここから導かれます。

三角関数の加法定理

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡βcos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡βtan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\begin{aligned}\sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\\ \tan(\alpha\pm\beta)&=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\end{aligned}

（複号同順。cos⁡\cos だけ符号が逆になることに注意）

覚え方の一例：「咲いたコスモス、コスモス咲いた」（sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta）、「コスモスコスモス、咲いた咲いた」（cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta）。ただし、証明を一度自分でたどっておくと、忘れても作り直せます。

証明：単位円上の2点の距離を2通りで計算する

まず cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta) を証明し、ほかの式はそこから導きます。

P(cosα, sinα)Q(cosβ, sinβ)α−βO1
単位円上に P(cos⁡α, sin⁡α)(\cos\alpha,\ \sin\alpha)、Q(cos⁡β, sin⁡β)(\cos\beta,\ \sin\beta) をとる。∠POQ=α−β\angle POQ=\alpha-\beta

① 座標で計算：2点間の距離の公式から、

PQ2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)\begin{aligned}PQ^2&=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\&=(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+(\cos^2\beta+\sin^2\beta)-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\&=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\end{aligned}

② 余弦定理で計算：△OPQ\triangle OPQ で OP=OQ=1OP=OQ=1、∠POQ=α−β\angle POQ=\alpha-\beta なので、

PQ2=12+12−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)PQ^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos(\alpha-\beta)=2-2\cos(\alpha-\beta)

①と②は同じ PQ2PQ^2 なので、

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

（2点の位置や角の大きさによらず成り立ちます。三角形にならない場合も、①の計算と、回転して P を (cos⁡(α−β), sin⁡(α−β))(\cos(\alpha-\beta),\ \sin(\alpha-\beta))、Q を (1, 0)(1,\ 0) に移したときの距離をくらべれば同じ式が出ます。）

ほかの式を導く

  • β\beta を −β-\beta にかえる（cos⁡(−β)=cos⁡β\cos(-\beta)=\cos\beta、sin⁡(−β)=−sin⁡β\sin(-\beta)=-\sin\beta）→ cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
  • sin⁡θ=cos⁡(90∘−θ)\sin\theta=\cos(90^\circ-\theta) を使う → sin⁡(α+β)=cos⁡{(90∘−α)−β}=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\cos\{(90^\circ-\alpha)-\beta\}=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
  • tan⁡=sin⁡cos⁡\tan=\dfrac{\sin}{\cos} にして分母・分子を cos⁡αcos⁡β\cos\alpha\cos\beta で割る → tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) の式

加法定理から出てくる公式

公式加法定理での作り方
2倍角 sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alphasin⁡(α+α)\sin(\alpha+\alpha)
2倍角 cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1cos⁡(α+α)\cos(\alpha+\alpha)
半角 sin⁡2α2=1−cos⁡α2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}2倍角の式を変形
合成 asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2sin⁡(θ+ϕ)a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi)sin⁡(θ+ϕ)\sin(\theta+\phi) を展開して係数をくらべる

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

大学受験

例題1（値を求める）

sin⁡75∘\sin75^\circ と cos⁡15∘\cos15^\circ の値を求めなさい。

解き方

sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=22⋅32+22⋅12=6+24\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}。

cos⁡15∘=cos⁡(45∘−30∘)=22⋅32+22⋅12=6+24\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}（sin⁡75∘=cos⁡15∘\sin75^\circ=\cos15^\circ と一致）。

答え　6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}

大学受験

例題2（2直線のなす角）

2直線 y=3xy=3x と y=12xy=\dfrac12x のなす角 θ\theta（0<θ<90∘0<\theta<90^\circ）を求めなさい。

解き方

傾きを tan⁡α=3\tan\alpha=3、tan⁡β=12\tan\beta=\dfrac12 とすると、tan⁡(α−β)=3−121+3⋅12=5/25/2=1\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{3-\frac12}{1+3\cdot\frac12}=\dfrac{5/2}{5/2}=1。

θ=45∘\theta=45^\circ。

答え　45∘45^\circ

(1, 3)(2, 1)αβθ＝45°y＝3x（tanα＝3）y＝x/2（tanβ＝1/2）O
例題2：y=3xy=3x と xx 軸のなす角を α\alpha、y=12xy=\dfrac12x と xx 軸のなす角を β\beta とすると、2直線のなす角は θ=α−β\theta=\alpha-\beta。tan⁡θ=1\tan\theta=1 より 45∘45^\circ
大学受験

例題3（合成）

y=sin⁡θ+3cos⁡θy=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta の最大値を求めなさい。

解き方

12+(3)2=2\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2 なので、y=2(12sin⁡θ+32cos⁡θ)=2sin⁡(θ+60∘)y=2\left(\dfrac12\sin\theta+\dfrac{\sqrt3}{2}\cos\theta\right)=2\sin(\theta+60^\circ)。

最大値は 22。

答え　22

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

sin⁡(α+β)=sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta は×だ。三角関数の足し算は、そのまま分けられないぞ。

  • sin⁡(α+β)=sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta としてしまう：三角関数は足し算をそのまま分けられない。
  • cos⁡\cos の符号：cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) はマイナス、cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta) はプラス。
  • tan⁡\tan の分母：tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) の分母は 1−tan⁡αtan⁡β1-\tan\alpha\tan\beta。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

2倍角も合成も、ここから出てくるんだね！

  1. 大学受験 cos⁡75∘\cos75^\circ の値を求めなさい。
    答えと解説を見るcos⁡(45∘+30∘)=22⋅32−22⋅12=6−24\cos(45^\circ+30^\circ)=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}。答え 6−24\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}
  2. 大学受験 sin⁡α=35\sin\alpha=\dfrac35（α\alpha は鋭角）のとき、sin⁡2α\sin2\alpha の値を求めなさい。
    答えと解説を見るcos⁡α=45\cos\alpha=\dfrac45。sin⁡2α=2⋅35⋅45=2425\sin2\alpha=2\cdot\dfrac35\cdot\dfrac45=\dfrac{24}{25}。答え 2425\dfrac{24}{25}
  3. 大学受験 tan⁡α=2\tan\alpha=2、tan⁡β=3\tan\beta=3 のとき tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) を求めなさい。
    答えと解説を見る2+31−6=−1\dfrac{2+3}{1-6}=-1。答え −1-1

関連する公式

よくある質問

加法定理の公式は？

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ、cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ、tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ) です。

加法定理はどう証明しますか？

単位円上の2点 P(cosα, sinα)、Q(cosβ, sinβ) の距離の2乗を、座標の距離の公式と余弦定理の2通りで計算して等しいとおくと、cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ が得られます。

加法定理の覚え方は？

「咲いたコスモス、コスモス咲いた」（sin の加法定理）、「コスモスコスモス、咲いた咲いた」（cos の加法定理、符号は逆）という語呂がよく使われます。

2倍角の公式との関係は？

加法定理で β=α とすると、sin2α=2sinαcosα、cos2α=cos²α−sin²α が得られます。

加法定理は何年生で習いますか？

高校2年ごろ、数学Ⅱ「三角関数」で習います。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅱ（三角関数）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦