ド・モアブルの定理｜(cosθ＋i sinθ)ⁿ＝cos nθ＋i sin nθ の証明（加法定理と帰納法）・累乗とzⁿ＝1の例題【数学C・大学受験】

うかるくん

$n$ 乗すると偏角が $n$ 倍になるって、本当にそうなるの？

合格先生

極形式のかけ算は偏角の足し算だ。$n$ 回かければ偏角は $n\theta$ になるぞ。

ド・モアブルの定理

複素数を極形式 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$（$r$ は原点からの距離、$\theta$ は偏角）で表すと、累乗がとても簡単に計算できます。

証明：かけ算は「偏角の足し算」

加法定理を使うと、2つの極形式の積は

かけ算は偏角どうしの足し算です。これをくり返せば、$n$ 個かけると偏角は $n\theta$。きちんと書くと数学的帰納法で、$n=1$ で成り立ち、$n=k$ で成り立てば $(\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}=(\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)=\cos(k+1)\theta+i\sin(k+1)\theta$。

$i=\cos90^\circ+i\sin90^\circ$ なので、$i$ をかけると $90^\circ$ 回転する（複素数のページ）のも、この定理の特別な場合です。

大学受験（数学C）での使い方

よくある間違い

合格先生

$r$ の $n$ 乗を忘れるな。$\{r(\cos\theta+i\sin\theta)\}^n$ は $r^n$ 倍の大きさになる。

• $r$ も $n$ 乗するのを忘れる：$\{r(\cos\theta+i\sin\theta)\}^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$。
• $z^n=1$ の解を1つしか書かない：偏角は $360^\circ$ の整数倍だけずれてもよいので、解は $n$ 個。

練習問題

サクラちゃん

$z^n=1$ の解は $n$ 個あるよ。全部見つけようね

1. 大学受験 $(\cos20^\circ+i\sin20^\circ)^9$ を計算しなさい。
   答えと解説を見る

   $\cos180^\circ+i\sin180^\circ=-1$
2. 大学受験 $(\sqrt3+i)^6$ を計算しなさい。
   答えと解説を見る

   $\sqrt3+i=2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)$。$64(\cos180^\circ+i\sin180^\circ)=-64$
3. 大学受験 $z^4=1$ の解をすべて求めなさい。
   答えと解説を見る

   偏角 $0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$。$z=1,\ i,\ -1,\ -i$

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