オイラーの公式 e^{iθ}＝cosθ＋i sinθ｜オイラーの等式 e^{iπ}＋1＝0 の意味・なぜ成り立つかの証明と例題【大学数学・東大京大レベル】

オイラーの公式とオイラーの等式

実数 $\theta$（弧度法）に対して、次の式をオイラーの公式といいます。$\theta=\pi$ を入れた式はオイラーの等式とよばれ、「数学でもっとも美しい式」として有名です。

$e^{i\theta}$ は、複素数平面で半径1の円の上を、1から角 $\theta$ だけ回った点です。高校で学ぶ極形式 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ は、オイラーの公式を使うと $re^{i\theta}$ と短く書けます。

オイラーの等式には、数学でいちばん大事な5つの数 $0,\ 1,\ e,\ i,\ \pi$ が1回ずつ出てきます。$e$ は自然対数の底、$i$ は虚数単位、$\pi$ は円周率です。

なぜ成り立つのか（3つの見方）

まず大事なことを1つ。実数の指数 $e^x$ は高校で学びますが、指数が虚数の $e^{i\theta}$ は、高校数学では意味がまだ決まっていません。オイラーの公式は「$e^{i\theta}$ をこう決めると、指数のよい性質がすべてそのまま使える」という式です。その理由を3つの見方で説明します。

見方1：指数法則と微分の性質が同じ（高校の範囲で示せる）

$f(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$ とおきます。加法定理から

$$\begin{aligned}f(\alpha)f(\beta)&=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\\&=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)=f(\alpha+\beta)\end{aligned}$$

これは指数法則 $e^{a}e^{b}=e^{a+b}$ とまったく同じ形です。$f(0)=1$ も $e^0=1$ と同じ。さらに実部・虚部をそれぞれ微分すると

$$f'(\theta)=-\sin\theta+i\cos\theta=i(\cos\theta+i\sin\theta)=if(\theta)$$

実数なら $(e^{kx})'=ke^{kx}$ です。$f$ は「$k=i$ の指数関数」と同じ性質をもつので、$f(\theta)$ を $e^{i\theta}$ と書くのが自然です。

しかも、この性質をもつ関数は1つしかありません。$F'(\theta)=iF(\theta)$、$F(0)=1$ をみたす $F$ に対して $G(\theta)=F(\theta)(\cos\theta-i\sin\theta)$ とおくと

$$G'(\theta)=iF(\theta)(\cos\theta-i\sin\theta)+F(\theta)(-\sin\theta-i\cos\theta)=0$$

なので $G$ は一定で、$G(0)=1$ より $G(\theta)=1$。$(\cos\theta-i\sin\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)=1$ だから $F(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$ となります。

見方2：(1＋iθ/n)ⁿ の極限

実数では $e^x=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ です。$x$ を $i\theta$ にすると、$1+\dfrac{i\theta}{n}$ は絶対値 $\sqrt{1+\dfrac{\theta^2}{n^2}}$（ほぼ1）、偏角 ほぼ $\dfrac{\theta}{n}$ の複素数です。これを $n$ 回かけると（ド・モアブルの定理）、絶対値は $\left(1+\dfrac{\theta^2}{n^2}\right)^{n/2}\to1$、偏角は ほぼ $\theta$ になり、極限は $\cos\theta+i\sin\theta$ です。

見方3：マクローリン展開（大学の内容・略証）

大学で学ぶマクローリン展開を使うと

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots,\quad \cos\theta=1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots,\quad \sin\theta=\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots$$

$e^x$ の式に $x=i\theta$ を入れ、$i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1$ を使って実部と虚部に分けると

$$e^{i\theta}=\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\right)=\cos\theta+i\sin\theta$$

（無限和の並べかえが許されることなどは大学で確かめます。）

大学受験（数学C 複素数平面）での使い方

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

• 範囲外の公式：高校の数学Cでは、複素数を極形式 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ とド・モアブルの定理で扱います。$e^{i\theta}$ という書き方と、オイラーの公式そのものは教科書の範囲外（大学の内容）です。
• 答案での書き方：記述式の答案では、$\cos\theta+i\sin\theta$ の形とド・モアブルの定理で書くのが安全です。$e^{i\theta}$ を使いたいときは「$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ とおく（記号として定める）」と断り、使う性質（$e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$ など）を加法定理から確かめてから使いましょう。
• 見当づけ・検算に強い：3倍角の公式、$\cos^n\theta$ を倍角に直す計算、$\cos\theta+\cos2\theta+\cdots+\cos n\theta$ のような三角関数の和は、$e^{i\theta}$ で考えると答えの見当がすぐにつきます。下書きで使い、答案は高校の書き方に直すのがおすすめです。
• 難関大の入試では、三角関数の和や積分、複素数の回転の問題で、オイラーの公式が背景になっている問題があります。

よくある間違い

• $\theta$ を度で入れる：$\theta$ は弧度法（ラジアン）。$e^{i\cdot180}$ は $-1$ ではありません。$e^{i\pi}=-1$ です。
• $|e^{i\theta}|=e^{\theta}$ とする：$|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1$。大きさを変えるのは実部で、$e^{a+bi}=e^a(\cos b+i\sin b)$ の大きさは $e^a$ です。
• 実数の指数法則をそのまま広げる：$(a^b)^c=a^{bc}$ は複素数では成り立たないことがあります。たとえば $e^{2\pi i}=1$ ですが、$\left(e^{2\pi i}\right)^{1/2}=1^{1/2}$ と $e^{\pi i}=-1$ は同じとはいえません。

練習問題

1. 大学受験 $e^{i\pi/3}$ を $a+bi$ の形で表しなさい。
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   $\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$
2. 大学受験 $(\sqrt3+i)^6$ を計算しなさい。
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   $\sqrt3+i=2e^{i\pi/6}$ なので $(\sqrt3+i)^6=64e^{i\pi}=-64$
3. 大学受験 $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ を使って、$\sin^2\theta$ を $\cos2\theta$ で表しなさい。
   答えと解説を見る

   $\sin^2\theta=\dfrac{e^{2i\theta}-2+e^{-2i\theta}}{-4}=\dfrac{2-2\cos2\theta}{4}=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$（半角の公式と同じ）

関連する公式

• ド・モアブルの定理
• 三角関数の加法定理
• 2倍角・半角の公式
• 複素数と2次方程式
• 自然対数の底 e の定義
• マクローリン展開

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）