マクローリン展開の公式｜e^x・sinx・cosx・log(1+x)の展開と証明・極限の見当づけの例題【大学数学・東大京大レベル】

マクローリン展開の公式

関数 $f(x)$ を、$x=0$ での微分係数を使って多項式（べき級数）で表したものがマクローリン展開です。$x=0$ の近くで、関数を「無限に長い多項式」とみる考え方です。

$\sin x$ は奇関数なので奇数次の項だけ、$\cos x$ は偶関数なので偶数次の項だけが出てきます。$e^x$ で $x=1$ とおくと $e=1+1+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\cdots$ で、$\dfrac1{6!}$ の項までの和は $2.71805\cdots$（$e=2.71828\cdots$）です。

証明：係数の決まり方と、展開が成り立つ理由

① 係数は $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ になる

$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$ と書けたとします。$x=0$ を代入すると $a_0=f(0)$。1回微分して $x=0$ を代入すると $a_1=f'(0)$。2回微分すると $x^2$ の項は $2\cdot1\cdot a_2$ になるので $a_2=\dfrac{f''(0)}{2!}$。同じように $n$ 回微分すると $x^n$ の項は $n!\,a_n$ になり、$a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ です。

たとえば $f(x)=e^x$ は何回微分しても $e^x$ で、$f^{(n)}(0)=1$。だから $a_n=\dfrac1{n!}$。$\sin x$ は微分するたびに $\cos x,\ -\sin x,\ -\cos x,\ \sin x$ とくり返すので、$x=0$ での値は $0,1,0,-1$ のくり返しです。

② 本当に等しくなること（剰余項が0に近づく）

①は「書けたとすれば」の話です。本当に等しいことは、テイラーの定理（部分積分のくり返し）で示します。$e^x$ では

$$e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+R_n,\qquad R_n=\int_0^x\frac{(x-t)^n}{n!}e^t\,dt$$

$x>0$ なら $0\le R_n\le e^x\displaystyle\int_0^x\frac{(x-t)^n}{n!}dt=e^x\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$。$\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\to0$（$n\to\infty$）なので $R_n\to0$（$x<0$ も同様）。$\sin x,\ \cos x$ も、$|f^{(n+1)}(t)|\le1$ から同じように $R_n\to0$ です。

③ $\log(1+x)$ は積分で示せる

等比数列の和の公式から、$t\neq-1$ で

$$\frac1{1+t}=1-t+t^2-\cdots+(-1)^{n-1}t^{n-1}+\frac{(-1)^nt^n}{1+t}$$

両辺を $0$ から $x$ まで積分すると（$0\le x\le1$）

$$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1)^n\int_0^x\frac{t^n}{1+t}dt$$

最後の積分は $0\le\displaystyle\int_0^x\frac{t^n}{1+t}dt\le\int_0^xt^n\,dt=\frac{x^{n+1}}{n+1}\to0$。$x=1$ とおくと $\log2=1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots$ が得られます。

大学受験での使い方

入試では、極限の値の見当づけと、不等式 $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}$ などの背景として出てきます。答案では展開そのものではなく、微分や積分で示すのが安全です。

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

• 範囲：数学Ⅲでは微分・積分・極限を学びますが、関数を無限の和（べき級数）で表すマクローリン展開は、高校の教科書の本文の範囲外です。大学の微分積分学で学びます。
• 答案にそのまま使うのは危険：「マクローリン展開より」と書くだけでは、証明なしの結果の引用になります。極限は例題1のように剰余項の評価とはさみうち、不等式は例題3のように微分のくり返しで示しましょう。
• 見当づけ・検算には強い：答えが $\dfrac12$ や $\dfrac16$ になりそうだと先に分かれば、計算ミスに気づけます。
• 入試の背景：難関大の入試では、「$e^x\ge1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}$（$x\ge0$）を数学的帰納法で示す」「$\log2=1-\dfrac12+\dfrac13-\cdots$ を積分で示す」のように、マクローリン展開が背景になっている問題があります。

よくある間違い

• $\log(1+x)$ の展開をどんな $x$ でも使う：成り立つのは $-1<x\le1$ だけです。$x=2$ を入れると $2-2+\dfrac83-4+\cdots$ となり、和は決まりません。
• 階乗を忘れる：$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3}+\cdots$ は誤り。正しくは $\dfrac{x^3}{3!}=\dfrac{x^3}{6}$ です。
• $x$ が大きいところで近似に使う：打ち切った多項式は $x=0$ の近くでよく合う近似です。図1のように、0から離れるとずれが大きくなります。

練習問題

1. 大学受験 $e^{-x}$ のマクローリン展開を、$x^3$ の項まで書きなさい。
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   $e^t$ の展開の $t$ に $-x$ を代入して $1-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{6}+\cdots$
2. 大学受験 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ の値を、マクローリン展開で求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}-\cdots$ より $\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12-\dfrac{x^2}{24}+\cdots\to\dfrac12$
3. 大学受験 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)-x}{x^2}$ の値を、マクローリン展開で求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\log(1+x)-x=-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots$ より $x^2$ で割って $-\dfrac12+\dfrac{x}{3}-\cdots\to-\dfrac12$

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よくある質問

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