テイラー展開とテイラーの定理の公式｜剰余項の部分積分による証明・近似値と誤差評価の例題【大学数学・東大京大レベル】

テイラーの定理とテイラー展開

$x=a$ の近くで関数 $f(x)$ を、$(x-a)$ の多項式で近似し、そのずれ（剰余項）まで式で表すのがテイラーの定理です。$a=0$ の場合がマクローリン展開です。

1次の多項式 $f(a)+f'(a)(x-a)$ は接線そのものです。2次の項を足すと曲がり方（$f''(a)$）まで合わせるので、図1のように近似がよくなります。

証明：部分積分のくり返し

$f(x)$ は $n+1$ 回微分できて、$f^{(n+1)}(x)$ が連続とします。出発点は $f(x)=f(a)+\displaystyle\int_a^xf'(t)\,dt$ です。

① 部分積分で1次ずつ取り出す

$\{-(x-t)\}'=1$（$t$ で微分）を使って部分積分すると

$$\int_a^xf'(t)\,dt=\Big[-(x-t)f'(t)\Big]_a^x+\int_a^x(x-t)f''(t)\,dt=f'(a)(x-a)+\int_a^x(x-t)f''(t)\,dt$$

同じように、$\left\{-\dfrac{(x-t)^{k+1}}{(k+1)!}\right\}'=\dfrac{(x-t)^k}{k!}$ を使うと

$$\int_a^x\frac{(x-t)^k}{k!}f^{(k+1)}(t)\,dt=\frac{f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1}+\int_a^x\frac{(x-t)^{k+1}}{(k+1)!}f^{(k+2)}(t)\,dt$$

これを $k=0,1,\cdots,n-1$ とくり返すと、積分の形の剰余項 $R_{n+1}=\displaystyle\int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt$ が得られます。

② ラグランジュの形にする

$x>a$ とします。区間 $a\le t\le x$ での $f^{(n+1)}(t)$ の最小値を $m$、最大値を $M$ とすると、$\dfrac{(x-t)^n}{n!}\ge0$ なので

$$m\cdot\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}\le R_{n+1}\le M\cdot\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}$$

よって $R_{n+1}\div\dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}$ は $m$ と $M$ の間の値。連続関数 $f^{(n+1)}$ は $m$ と $M$ の間の値をすべてとる（中間値の定理）ので、$f^{(n+1)}(c)$ に等しくなる $c$（$a\le c\le x$）があります。$x<a$ のときも同じです。

$n=0$ の場合は $f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)$ で、これは平均値の定理そのものです。テイラーの定理は平均値の定理を高い次数へ広げたものです。

大学受験での使い方

テイラーの定理のよさは、近似値だけでなく誤差の大きさを不等式で押さえられることです。

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

• 範囲：$n=0$ の場合（平均値の定理）は数学Ⅲで学びますが、一般の $n$ のテイラーの定理と、無限の和のテイラー展開は高校の教科書の本文の範囲外です。
• 使うなら証明してから：証明に使うのは部分積分と中間値の定理だけで、どちらも高校の範囲です。答案で使うときは、「テイラーの定理より」と書くのではなく、必要な次数まで部分積分をくり返して式を導くか、微分を何回かくり返して不等式を示すのが安全です。
• 見当づけ・検算：近似値の桁や、不等式の向きが正しいかを先に確かめるのに役立ちます。
• 入試の背景：難関大の入試では、$\sqrt{\ }$ や $\sin$ の近似値の誤差を評価させる問題や、$e$ に関する不等式など、テイラーの定理が背景になっている問題があります。

よくある間違い

• $c$ を決まった数だと思う：$c$ は $a$ と $x$ の間にあることしか分からず、$x$ や $n$ が変わると $c$ も変わります。使うのは「$c$ の範囲」だけです。
• $(x-a)^k$ を $x^k$ と書く：$a\neq0$ のときは、必ず $(x-a)$ のべきで書きます。$k!$ で割るのも忘れずに。
• テイラー展開はいつも成り立つと思う：$\log x$ の $x=1$ での展開は $0<x\le2$ でしか成り立ちません。剰余項 $R_{n+1}\to0$ を確かめて初めて「展開できる」といえます。

練習問題

1. 大学受験 $\log x$ の $x=1$ でのテイラー多項式を、$(x-1)^3$ の項まで求めなさい。
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   $f^{\prime}=\dfrac1x$、$f^{\prime\prime}=-\dfrac1{x^2}$、$f^{\prime\prime\prime}=\dfrac2{x^3}$ で、$x=1$ での値は $1,-1,2$。答え $(x-1)-\dfrac{(x-1)^2}{2}+\dfrac{(x-1)^3}{3}$
2. 大学受験 $\sqrt x$ の $x=9$ での2次のテイラー多項式で、$\sqrt{9.2}$ の近似値を小数第5位まで求めなさい。
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   $f^{\prime}(9)=\dfrac16$、$f^{\prime\prime}(9)=-\dfrac14\cdot9^{-\frac32}=-\dfrac1{108}$。$3+\dfrac{0.2}{6}-\dfrac{0.04}{216}=3.033148\cdots$ より約 $3.03315$（真の値は $3.033150\cdots$）
3. 大学受験 すべての実数 $x$ で $e^x\ge1+x$ を、テイラーの定理（$a=0,\ n=1$）で示しなさい。
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   $e^x=1+x+\dfrac{e^c}{2}x^2$（$c$ は $0$ と $x$ の間）。$\dfrac{e^c}{2}x^2\ge0$ なので $e^x\ge1+x$（等号は $x=0$）

関連する公式

• マクローリン展開（$a=0$ の場合）
• 平均値の定理（$n=0$ の場合）
• 置換積分・部分積分（証明の道具）
• ロピタルの定理
• 接線の方程式（1次の近似）
• 微分の公式
• べき級数と収束半径
• 偏微分と全微分

よくある質問

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