偏微分と全微分・連鎖律の公式｜全微分可能の証明・極座標の変換・反例の例題【大学院入試・微分積分】

うかるくん

偏微分ができるのに、全微分できないことなんてあるの？

合格先生

ある。$\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ は原点で偏微分できるが、連続でさえない。偏導関数が連続なら全微分できるぞ。

偏微分・全微分・連鎖律

2変数関数 $z=f(x,y)$ で、$y$ を止めて $x$ だけで微分するのが偏微分 $f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}$ です。$x,y$ を同時に少し動かしたときの $z$ の変化を1次式で表すのが全微分、$x,y$ がさらに別の変数の関数のときの微分のしかたが連鎖律です。

図1の $z=xy$ では $f_x=y,\ f_y=x$ で、全微分 $dz=y\,dx+x\,dy$ は、増えた面積のうち細い帯2本の部分です。残りの $\Delta x\Delta y$ は $\Delta x,\Delta y$ を小さくすると、それらよりずっと速く $0$ になります。これが定義の $\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{h^2+k^2}}\to0$ の意味です。

証明：偏導関数が連続なら全微分可能、そして連鎖律

① 偏導関数が連続なら全微分可能

$f_x,f_y$ が $(a,b)$ の近くで存在して連続とします。1変数ずつ動かすように分けて、それぞれに平均値の定理を使います。

よって $\varepsilon(h,k)=\{f_x(a+\theta_1h,b+k)-f_x(a,b)\}h+\{f_y(a,b+\theta_2k)-f_y(a,b)\}k$ で、$|h|,|k|\le\sqrt{h^2+k^2}$ より

（$f_x,f_y$ の連続性）。よって全微分可能で、$A=f_x(a,b),\ B=f_y(a,b)$ です。

② 連鎖律

$t$ が $\Delta t$ 変わるときの $x,y$ の変化を $h=\Delta x,\ k=\Delta y$ とすると、全微分可能性から

$\Delta t\to0$ で $h,k\to0$、$\dfrac{\sqrt{h^2+k^2}}{|\Delta t|}\to\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$（有限）なので最後の項は $0$ に近づきます（$h=k=0$ となるときはその項を $0$ と読む）。よって $\dfrac{dz}{dt}=f_x\dfrac{dx}{dt}+f_y\dfrac{dy}{dt}$。

大学院入試では

偏微分の計算そのものより、「全微分による近似」「極座標などへの変数変換」「偏微分は存在するのに全微分できない例」がよく問われます。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：大学初年級の微分積分の「多変数関数の微分」で学びます。2変数関数の極値・ラグランジュの未定乗数法・ヤコビアンの土台です。
• 関係の向き：「偏導関数が連続 ⇒ 全微分可能 ⇒ 連続かつ偏微分可能」。逆はどれも成り立ちません。答案ではどの段階を示したかを明記します。
• 連鎖律の前提：外側の $f$ が全微分可能であることが必要です。答案では「$f$ は $C^1$ 級なので」と一言そえます。
• よくある出題の形：極座標・1次変換での偏微分の書きかえ、ラプラシアン $z_{xx}+z_{yy}$ の計算、同次関数のオイラーの関係式 $xf_x+yf_y=nf$、全微分可能性の判定などです。

よくある間違い

合格先生

連鎖律で道を1本落とすな。$x$ を通る道と $y$ を通る道、2本の和だぞ。

• 偏微分できれば全微分できると思う：例題3のように、偏微分が存在しても連続でさえないことがあります。
• 連鎖律で道を1本落とす：$z$ が $x,y$ の両方を通して $t$ に依存するときは、2本の道の和です。$\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}$ だけでは足りません。
• $\partial$ を分数のように約分する：$\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial u}$ は1つの道の分で、これだけで $\dfrac{\partial z}{\partial u}$ にはなりません。

練習問題

サクラちゃん

木の図をかけば、道の数がすぐ分かるね！

1. 大学院入試 $z=\log(x^2+y^2)$ について、$z_{xx}+z_{yy}=0$ を示しなさい（$(x,y)\neq(0,0)$）。
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   $z_x=\dfrac{2x}{x^2+y^2}$ より $z_{xx}=\dfrac{2(x^2+y^2)-4x^2}{(x^2+y^2)^2}=\dfrac{2y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2}$。同じく $z_{yy}=\dfrac{2x^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2}$。足すと $0$
2. 大学院入試 $z=x^2+y^2$、$x=\cos t$、$y=2\sin t$ のとき、連鎖律で $\dfrac{dz}{dt}$ を求めなさい。
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   $\dfrac{dz}{dt}=2x(-\sin t)+2y(2\cos t)=-2\sin t\cos t+8\sin t\cos t=6\sin t\cos t$。答え $3\sin2t$（$z=1+3\sin^2t$ を直接微分しても同じ）
3. 大学院入試 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ の点 $(3,4)$ での全微分を使って、$f(3.02,\ 3.97)$ の近似値を求めなさい。
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   $f_x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac35$、$f_y=\dfrac45$、$f(3,4)=5$。$5+\dfrac35(0.02)+\dfrac45(-0.03)=4.988$。答え 約 $4.988$（真の値 $4.98811\cdots$）

関連する公式

• 積の微分・商の微分・合成関数の微分（1変数の連鎖律）
• 平均値の定理（証明の道具）
• 2変数関数の極値（ヘッセ行列）
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よくある質問

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