2変数関数の極値の公式｜ヘッセ行列による判定の証明・鞍点・D＝0の例題【大学院入試・微分積分】

うかるくん

$D=0$ になったら、極値はないって答えていいの？

合格先生

だめだ。$D=0$ は判定できないという意味だ。$x^2+y^4$ は極小、$x^2+y^3$ は極値なし。定義にもどって調べよう。

2変数関数の極値の判定（ヘッセ行列）

2変数関数 $f(x,y)$ の極値の候補は、$f_x=f_y=0$ となる点（停留点）です。その点が極大か極小か、どちらでもない（鞍点）かは、2階の偏導関数を並べたヘッセ行列で判定します。

証明：2次のテイラー展開と平方完成

① 直線にそって1変数に直す

$(h,k)\neq(0,0)$ を決めて $g(t)=f(a+th,\ b+tk)$ とおきます。連鎖律を2回使うと

（右辺は点 $(a+th,b+tk)$ での値）。1変数のテイラーの定理（$n=1$）より、$0<\theta<1$ があって

ここで $g'(0)=hf_x(a,b)+kf_y(a,b)=0$（停留点）、$Q(h,k)=h^2A+2hkB+k^2C$（$A,B,C$ は点 $(a+\theta h,b+\theta k)$ での $f_{xx},f_{xy},f_{yy}$）です。

② 平方完成で符号を決める

$A\neq0$ のとき

点 $(a,b)$ で $D>0$、$f_{xx}>0$ なら、2階偏導関数の連続性から、$(a,b)$ の十分近くでも $AC-B^2>0$、$A>0$ です。すると $(h,k)\neq(0,0)$ で $Q>0$（2つの項は0以上で、同時に0になるのは $h=k=0$ だけ）なので $f(a+h,b+k)>f(a,b)$、つまり極小です。$f_{xx}<0$ なら同様に $Q<0$ で極大です。

$D<0$ のときは、点 $(a,b)$ での2次式 $h^2f_{xx}+2hkf_{xy}+k^2f_{yy}$ が正の値も負の値もとるので（判別式が正）、$g''(0)>0$ となる向きでは $(a,b)$ が直線上の極小、$g''(0)<0$ となる向きでは極大になります。よって極値ではありません（鞍点）。

なお $D>0$ のとき $f_{xx}f_{yy}>(f_{xy})^2\ge0$ なので $f_{xx}$ と $f_{yy}$ は同符号で、$f_{xx}\neq0$ です。

大学院入試では

停留点をもれなく求め、1つずつ $D$ で判定する問題が定番です。$D=0$ になる点の扱い、3変数のヘッセ行列もよく出ます。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：大学初年級の微分積分の「多変数関数の極値」で学びます。3変数以上の判定には、線形代数の対称行列と2次形式（正定値）が必要です。
• 答案で示すべきこと：①停留点をすべて求める（連立方程式の解を落とさない）、②各点で $D$ と $f_{xx}$ を計算、③$D=0$ の点は定義にもどって調べる、の3段です。
• 極値と最大・最小は別：極小値が最小値とは限りません。例題1の $f$ は $x\to-\infty$（$y=0$）で $-\infty$ になるので最小値はありません。
• よくある出題の形：多項式・指数関数を含む関数の極値、$D=0$ の点の判定、3変数の極値、条件付き極値（ラグランジュの未定乗数法）との組み合わせなどです。

よくある間違い

合格先生

$f_{xx}>0$ だけで極小と決めるな。$D<0$ なら鞍点だ。先に $D$ の符号を見よう。

• $D=0$ で「極値なし」と決める：例題2のように、極値のこともないこともあります。$D=0$ は「この方法では判定できない」です。
• $f_{xx}$ だけで極大・極小を決める：$D<0$ なら、$f_{xx}>0$ でも鞍点です。先に $D$ の符号を見ます。
• 停留点を落とす：$x=x^4$ を $x^3=1$ と割ってしまうと $x=0$ が消えます。因数分解して解きます。

練習問題

合格先生

停留点をもれなく出すのが第一歩だ。

1. 大学院入試 $f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x$ の極値を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $f_x=2x+y-3=0$、$f_y=x+2y=0$ より $(x,y)=(2,-1)$。$f_{xx}=2,\ f_{yy}=2,\ f_{xy}=1$ で $D=3>0$、$f_{xx}>0$。答え $(2,-1)$ で極小値 $f(2,-1)=4-2+1-6=-3$
2. 大学院入試 $f(x,y)=xy(1-x-y)$ の停留点をすべて求め、それぞれ判定しなさい。
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   $f_x=y(1-2x-y)$、$f_y=x(1-x-2y)$。停留点は $(0,0),\ (1,0),\ (0,1),\ \left(\dfrac13,\dfrac13\right)$。$f_{xx}=-2y,\ f_{yy}=-2x,\ f_{xy}=1-2x-2y$。$(0,0),(1,0),(0,1)$ ではどれも $D=-1<0$ で鞍点。$\left(\dfrac13,\dfrac13\right)$ では $D=\dfrac49-\dfrac19=\dfrac13>0$、$f_{xx}=-\dfrac23<0$。答え $\left(\dfrac13,\dfrac13\right)$ で極大値 $\dfrac1{27}$、ほかの3点は極値でない
3. 大学院入試 $f(x,y)=x^4+y^4-4xy$ の極値を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $f_x=4x^3-4y=0$、$f_y=4y^3-4x=0$ より $y=x^3$、$x=x^9$。実数解 $x=0,\pm1$ で停留点 $(0,0),(1,1),(-1,-1)$。$f_{xx}=12x^2,\ f_{yy}=12y^2,\ f_{xy}=-4$。$(0,0)$ は $D=-16<0$ で鞍点。$(\pm1,\pm1)$ は $D=144-16=128>0$、$f_{xx}=12>0$。答え $(1,1),\ (-1,-1)$ で極小値 $-2$

関連する公式

• 微分と増減・極値（1変数の極値）
• 偏微分と全微分・連鎖律
• テイラー展開とテイラーの定理（証明の道具）
• ラグランジュの未定乗数法（条件付きの極値）
• 対称行列の直交対角化と2次形式（正定値の判定）
• 2次関数の最大・最小（平方完成）

よくある質問

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