2次関数の最大・最小の場合分け｜軸と区間の位置で決まる理由・軸が動く／区間が動く問題と例題【数学Ⅰ・大学受験】

うかるくん

2次関数の最小値って、いつも頂点のところじゃないの？

合格先生

軸と区間の位置で3通りあるんだ。軸が区間の外なら、はしで最小になるぞ。

2次関数の最大・最小と場合分け

$y=a(x-p)^2+q$（$a>0$）のグラフは下に凸の放物線で、軸は $x=p$。区間 $\alpha\le x\le\beta$ での最大・最小は、軸と区間の位置関係で決まります。

なぜ「軸との位置」で決まるのか

下に凸の放物線は、軸より左では減少、右では増加します（$y=(x-p)^2+q$ で、$x$ が $p$ から遠いほど $(x-p)^2$ が大きい）。

• 区間全体が軸より左なら、区間では減り続けるので、右はしで最小・左はしで最大。
• 区間全体が軸より右なら、増え続けるので、左はしで最小・右はしで最大。
• 軸が区間の中なら、頂点で最小。最大は、両はしのうち軸からの距離が大きいほう（$(x-p)^2$ が大きいほう）。

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

よくある間違い

合格先生

下に凸で、最大値を頂点とするのは×だ。最大は必ず区間のはしだぞ。

• いつも頂点で最小とする：軸が区間の外なら、はしで最小。
• 最大値を頂点とする：下に凸では、最大は必ず区間のはし。
• 場合分けの境目を落とす：$a=0,\ 2$ などの等号をどちらかにふくめる。

練習問題

合格先生

場合分けの境目の等号も忘れるなよ。

1. 大学受験 $y=x^2-2x$（$2\le x\le4$）の最大値と最小値は？
   答えと解説を見る

   軸 $x=1$ は区間の左。最小 $f(2)=0$、最大 $f(4)=8$
2. 大学受験 $y=x^2-6x+10$（$0\le x\le4$）の最小値と最大値は？
   答えと解説を見る

   $(x-3)^2+1$。最小 $f(3)=1$。まん中2より軸が右なので左はしが遠い：最大 $f(0)=10$
3. 大学受験 $f(x)=x^2-2ax$（$0\le x\le1$）の最小値を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $a<0$：0、$0\le a\le1$：$-a^2$、$a>1$：$1-2a$

関連する公式

• 二次関数の頂点（平方完成）
• 2次不等式
• 微分と増減・極値（3次以上の最大・最小）
• 相加平均・相乗平均（別の最小値の求め方）

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）