この公式のポイント
- f′(x)>0 で増加、<0 で減少（接線の傾き）
- 符号が＋→−で極大、−→＋で極小
- f′=0 だけでは極値とは限らない（x3）
- 実数解の個数はグラフと直線の共有点
うかるくん
f′(a)=0 なら、そこは必ず極値になるの？
![合格先生]()
合格先生
そうとは限らない。x3 の x=0 のように、f′ の符号が変わらなければ極値ではないぞ。
微分と関数の増減・極値
増減と極値の判定
- ある区間で f′(x)>0 → f(x) は増加、f′(x)<0 → 減少
- f′(x) の符号が正から負に変わる点で極大、負から正で極小
- 極値をとる点では f′(a)=0（ただし f′(a)=0 でも極値とは限らない）
手順：f′(x) を求める → f′(x)=0 を解く → 増減表をかく
なぜ f′(x) の符号で増減が分かるのか
f′(a) は点 a での接線の傾きです。傾きが正なら、その近くでグラフは右上がり（増加）、負なら右下がり（減少）。
山の頂上では、左側で上り（f′>0）、右側で下り（f′<0）なので、ちょうど頂上で傾きが0になります。これが「符号が正から負に変わる点で極大」の意味です。
f′(x)=3x2−3 のグラフ（上）と、f(x) の増減（下）
f(x)=x3 は f′(0)=0 ですが、f′(x)=3x2≥0 で符号が変わらないので、x=0 は極値ではありません。f′=0 だけでなく、符号の変化を確かめることが大事です。
大学受験（数学Ⅱ）での使い方
大学受験例題1（極値）
f(x)=x3−3x の極値を求めなさい。
解き方
f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)。x=−1 の前後で +→−、x=1 で −→+。
極大値 f(−1)=2、極小値 f(1)=−2。
答え 極大値2（x=−1）、極小値−2（x=1）
大学受験例題2（増減表）
f(x)=x3−6x2+9x+1 の極値を求めなさい。
解き方
f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)。
極大値 f(1)=1−6+9+1=5、極小値 f(3)=27−54+27+1=1。
答え 極大値5（x=1）、極小値1（x=3）
大学受験例題3（方程式の実数解の個数）
方程式
x3−3x=k が異なる3つの実数解をもつ
k の範囲を求めなさい。
解き方
y=x3−3x と直線 y=k の共有点が3つになればよい。図1より、極小値 −2 と極大値 2 の間で −2<k<2。
答え −2<k<2
よくある間違い
![腕でバツを作る合格先生]()
合格先生
極大値と最大値は同じではない。区間の最大を求めるなら、端点の値もくらべよう。
- f′(a)=0 なら必ず極値とする：x3 の x=0 のように、符号が変わらなければ極値ではない。
- 極大値と最大値を同じにする：極大は「その近くで一番大きい」。区間の最大は端点もくらべる。
練習問題
- 大学受験 f(x)=x3−12x の極値は？
答えと解説を見る
f′=3(x+2)(x−2)。極大 f(−2)=16、極小 f(2)=−16 - 大学受験 f(x)=−x3+3x2 の極値は？
答えと解説を見る
f′=−3x(x−2)。極小 f(0)=0、極大 f(2)=4 - 大学受験 f(x)=x3+3x は極値をもちますか。
答えと解説を見る
f′=3x2+3>0 でいつも増加。極値はない
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よくある質問
関数の増減はどう調べますか？
導関数 f'(x) を求め、f'(x)>0 の区間で増加、f'(x)<0 の区間で減少です。増減表にまとめます。
極値の判定方法は？
f'(x)=0 となる点の前後で f'(x) の符号が正から負に変われば極大、負から正に変われば極小です。
f'(a)=0 なら必ず極値ですか？
いいえ。f(x)=x³ の x=0 のように符号が変わらなければ極値ではありません。
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出典・参考
- 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅱ（微分・積分の考え）
最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦
