この記事の結論
- y＝f(x)（4次関数と分数関数をつないだもの）が山の形、y＝g(x)（cos のグラフ）が雪の境目になり、グラフ全体が富士山の絵になる
- 静岡大学の入試で、このグラフをかいて積雪部分の面積を求める問題が出題された（元の記事より）
- 積雪部分の面積は 24log(3/2) − 34/15 ≒ 7.46（この記事で計算・検算）
富士山になる2つの関数
| 関数 | 式 | グラフの役わり |
|---|---|---|
| f(x) | x⁴ − x² + 6（|x| ≦ 1） 12 / (|x| + 1)（|x| ＞ 1） | 山の形（山頂とすその） |
| g(x) | ½ cos 2πx ＋ 7/2（|x| ≦ 2） | 雪の境目の波線 |
グラフ（図解）
グラフの読み取り方
- 山頂（|x|≦1）：f(x)＝x⁴−x²＋6。f′(x)＝4x³−2x＝0 より x＝0、±1/√2。x＝0 と x＝±1 で高さ6、x＝±1/√2 で 23/4 とへこむので、山頂にくぼみ（火口）ができる。
- すそ野（|x|＞1）：f(x)＝12/(|x|＋1)。x＝1 で6となって山頂の式とつながり（ここが火口のふちのとがった部分）、x が大きくなるほど0に近づく。x＝±2 で高さ4。
- 雪の境目（|x|≦2）：g(x)は3と4の間を波打つ。周期は1。x＝0、±1、±2 で4、x＝±1/2、±3/2 で3。
積雪部分の面積を求めてみよう
積雪部分は、−2≦x≦2 で y＝g(x) と y＝f(x) にはさまれた部分です（この範囲では f(x)≧g(x)）。左右対称なので、0≦x≦2 の部分を2倍します。
- ∫₀¹ (x⁴ − x² + 6) dx ＝ 1/5 − 1/3 + 6 ＝ 88/15
- ∫₁² 12/(x + 1) dx ＝ 12[log(x+1)]₁² ＝ 12 log(3/2)
- ∫₀² (½ cos 2πx ＋ 7/2) dx ＝ 0 ＋ 7 ＝ 7（cos の部分はちょうど2周期分なので0）
面積 ＝ 2 × {88/15 ＋ 12 log(3/2) − 7} ＝ 24 log(3/2) − 34/15 ≒ 7.46
グラフを正しくかけるかどうかが、この問題のカギです。数学Ⅲの微分（増減・極値）と積分を、楽しく復習できる良問です。
よくある質問
富士山の方程式とは？
f(x)＝x⁴−x²＋6（|x|≦1）、12/(|x|＋1)（|x|＞1）と、g(x)＝½cos2πx＋7/2（|x|≦2）の2つの関数です。グラフをかくと富士山の形になります。
どこの大学の入試問題ですか？
静岡大学の入試で、このグラフをかいて積雪部分の面積を求める問題が出題されました。
積雪部分の面積はいくつですか？
24log(3/2)−34/15 で、約7.46です。
山頂がくぼんでいるのはなぜ？
f(x)＝x⁴−x²＋6 は x＝±1/√2 で極小値 23/4 をとり、x＝0 と ±1 の高さ6より低くなるからです。
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出典・参考
- 問題の式は元の記事の画像によります
- グラフと面積は、この記事で計算し、数値計算で検算しています
最終更新：2026年10月8日／作成：大学受験合格大作戦
この記事に出てくる公式（算数・数学公式辞典）
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