接線の方程式の求め方｜y−f(a)＝f′(a)(x−a) の理由（割線の極限）・法線・外の点から引く接線の例題【数学Ⅱ・大学受験】

うかるくん

曲線の外の点から引く接線は、どうやって式を作ればいいの？

合格先生

接点を $(t,\ f(t))$ とおいて接線の式を作る。それが外の点を通る条件で $t$ を求めるんだ。

接線の方程式の公式

証明：接線の傾きが f′(a) になる理由

点 $(a,\ f(a))$ と、近くの点 $(a+h,\ f(a+h))$ を結ぶ直線（割線）の傾きは $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$。$h$ を0に近づけると、割線は接線に近づき、傾きは微分係数 $f'(a)$ になります。

傾き $m$ で点 $(a,\ b)$ を通る直線は $y-b=m(x-a)$（一次関数）。$m=f'(a)$、$b=f(a)$ を入れれば接線の式です。法線は、垂直な2直線の傾きの積が $-1$ であることから傾き $-\dfrac{1}{f'(a)}$。

曲線の外の点から引く接線

接点がわからないときは、接点を $(t,\ f(t))$ とおいて接線の式を作り、それが与えられた点を通る条件から $t$ を求めます。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

合格先生

法線の傾きを $-f'(a)$ としない。正しくは $-\dfrac{1}{f'(a)}$ だ。

• 外の点の問題で、その点を接点とする：接点を $(t,\ f(t))$ とおく。
• 法線の傾きを $-f'(a)$ とする：$-\dfrac{1}{f'(a)}$。

練習問題

うかるくん

接線の傾きは $f'(a)$。まず微分からだね。

1. 大学受験 $y=x^2-4x$ 上の点 $(3,\ -3)$ における接線は？
   答えと解説を見る

   $y^{\prime}=2x-4$、傾き2。$y=2x-9$
2. 大学受験 $y=x^3$ 上の点 $(1,\ 1)$ における接線は？
   答えと解説を見る

   傾き3。$y=3x-2$
3. 大学受験 $y=x^2$ の接線で、傾きが4のものを求めなさい。
   答えと解説を見る

   $2t=4$、$t=2$、接点 $(2,4)$。$y=4x-4$

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