積の微分・商の微分・合成関数の微分の公式｜証明と覚え方・例題【数学Ⅲ・大学受験】

積の微分・商の微分・合成関数の微分の公式｜証明と覚え方・例題【数学Ⅲ・大学受験】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 関数

大学受験

(fg)′=f′g+fg′{f(g(x))}′=f′(g(x)) g′(x)(fg)'=f'g+fg'\qquad\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\,g'(x)

商の微分　(fg)′=f′g−fg′g2\left(\dfrac{f}{g}\right)^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^2}

この公式のポイント

  • 積の微分：(fg)′=f′g+fg′(fg)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}（f′g′f^{\prime}g^{\prime} ではない）
  • 商の微分：(fg)′=f′g−fg′g2\left(\dfrac fg\right)^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^2}（分子は引き算の順番に注意）
  • 合成関数：外側を微分×中身の微分　dydx=dydu⋅dudx\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}
  • 証明は同じものを引いて足す工夫と、変化の倍率のかけ算
うかるくん

うかるくん

積の微分って、それぞれ微分してかけた f′g′f'g' じゃいけないの？

合格先生

合格先生

(x⋅x)′=2x(x\cdot x)'=2x になるから、f′g′f'g' ではだめだ。長方形の面積のふえ方で f′g+fg′f'g+fg' が分かるぞ。

積の微分・商の微分・合成関数の微分の公式

多項式の微分（xnx^n の微分）だけでは、x2sin⁡xx^2\sin x や xx2+1\dfrac{x}{x^2+1}、(2x+1)10(2x+1)^{10} のような関数はすぐには微分できません。そこで使うのが次の3つの公式です。数学Ⅲの微分の計算は、ほとんどこの3つの組み合わせでできています。

3つの微分公式

積の微分

{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

商の微分

{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2,{1g(x)}′=−g′(x){g(x)}2\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2},\qquad\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}

合成関数の微分（u=g(x)u=g(x) とおく）

{f(g(x))}′=f′(g(x)) g′(x),dydx=dydu⋅dudx\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\,g'(x),\qquad\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
変化の倍率は「かけ算」でつながるxu＝g(x)y＝f(u)×g′(x)×f′(u)×f′(g(x))×g′(x)例：y＝(2x＋1)³ は u＝2x＋1（×2）、y＝u³（×3u²）→ y′＝3(2x＋1)²×2＝6(2x＋1)²
合成関数の微分：xx から uu への倍率 g′(x)g^{\prime}(x) と、uu から yy への倍率 f′(u)f^{\prime}(u) をかけると、xx から yy への倍率になる

覚え方は「前を微分して後ろそのまま＋前そのままで後ろを微分」（積）、「分子の微分×分母 − 分子×分母の微分、それを分母の2乗で割る」（商）、「外側を微分して、中身の微分をかける」（合成関数）です。

証明（なぜ成り立つか）

どれも微分の定義 f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} から示せます。f, gf,\ g は微分できる関数とします。

積の微分の証明

f(x+h)g(x)f(x+h)g(x) を引いて足す（同じものを引いて足しても値は変わらない）のがコツです。

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=f(x+h)g(x+h)−f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)−f(x)g(x)h=f(x+h)⋅g(x+h)−g(x)h+f(x+h)−f(x)h⋅g(x)\begin{aligned}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}&=\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\\&=f(x+h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x)\end{aligned}

h→0h\to0 とすると、f(x+h)→f(x)f(x+h)\to f(x)（微分できる関数は連続）なので、右辺は f(x)g′(x)+f′(x)g(x)f(x)g'(x)+f'(x)g(x) に近づきます。

f×gf×ΔgΔf×gΔfΔgg(x)Δgf(x)Δfh で割ってh→0 で角は 0 にふえた面積 ＝ 緑 ＋ 橙 ＋ 赤
たて ff・よこ gg の長方形の面積 fgfg は、ff が Δf\Delta f、gg が Δg\Delta g ふえると、緑 fΔgf\Delta g・橙 Δf g\Delta f\,g・赤 ΔfΔg\Delta f\Delta g だけふえる。hh で割って h→0h\to0 とすると赤は0になり、fg′+f′gfg^{\prime}+f^{\prime}g が残る

商の微分の証明

まず 1g(x)\dfrac{1}{g(x)} を微分します。

1h{1g(x+h)−1g(x)}=−g(x+h)−g(x)h⋅1g(x+h)g(x) ⟶ −g′(x){g(x)}2(h→0)\frac{1}{h}\left\{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\right\}=-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot\frac{1}{g(x+h)g(x)}\ \longrightarrow\ -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\quad(h\to0)

次に fg=f⋅1g\dfrac{f}{g}=f\cdot\dfrac1g と見て積の微分を使うと、

(fg)′=f′⋅1g+f⋅(−g′g2)=f′g−fg′g2\left(\frac fg\right)'=f'\cdot\frac1g+f\cdot\left(-\frac{g'}{g^2}\right)=\frac{f'g-fg'}{g^2}

合成関数の微分の証明

u=g(x)u=g(x)、y=f(u)y=f(u) とし、xx が hh ふえたときの uu の変化を Δu=g(x+h)−g(x)\Delta u=g(x+h)-g(x)、yy の変化を Δy\Delta y とします。Δu≠0\Delta u\neq0 のとき、

Δyh=ΔyΔu⋅Δuh=f(u+Δu)−f(u)Δu⋅g(x+h)−g(x)h\frac{\Delta y}{h}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{h}=\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}

h→0h\to0 のとき Δu→0\Delta u\to0 なので、1つ目の分数は f′(u)=f′(g(x))f'(u)=f'(g(x))、2つ目は g′(x)g'(x) に近づきます。よって {f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)。

hh が0に近いところで Δu=0\Delta u=0 となることがある関数では、上の割り算ができません。その場合も、f(u+k)−f(u)k\dfrac{f(u+k)-f(u)}{k}（k=0k=0 のときは f′(u)f'(u) と決める）という関数を使うと同じ結論が示せます。高校の教科書では上の形で説明されることが多いです。

大学受験（数学Ⅲ）での使い方

大学受験

例題1（積の微分）

y=(x2+1)(3x−2)y=(x^2+1)(3x-2) を微分しなさい。

解き方

y′=(x2+1)′(3x−2)+(x2+1)(3x−2)′=2x(3x−2)+3(x2+1)=9x2−4x+3y^{\prime}=(x^2+1)^{\prime}(3x-2)+(x^2+1)(3x-2)^{\prime}=2x(3x-2)+3(x^2+1)=9x^2-4x+3。

（確かめ：展開すると y=3x3−2x2+3x−2y=3x^3-2x^2+3x-2 で、微分すると同じ 9x2−4x+39x^2-4x+3。）

答え　y′=9x2−4x+3y^{\prime}=9x^2-4x+3

大学受験

例題2（商の微分）

y=xx2+1y=\dfrac{x}{x^2+1} を微分しなさい。

解き方

y′=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2y^{\prime}=\dfrac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}。

答え　y′=1−x2(x2+1)2y^{\prime}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

大学受験

例題3（合成関数の微分）

y=x2+1y=\sqrt{x^2+1} を微分しなさい。

解き方

u=x2+1u=x^2+1 とおくと y=u12y=u^{\frac12}。dydu=12u−12\dfrac{dy}{du}=\dfrac12u^{-\frac12}、dudx=2x\dfrac{du}{dx}=2x。

y′=12x2+1⋅2x=xx2+1y^{\prime}=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}。

答え　y′=xx2+1y^{\prime}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}

合成関数の微分は、sin⁡3x\sin 3x（→3cos⁡3x\to3\cos3x）、e−x2e^{-x^2}（→−2xe−x2\to-2xe^{-x^2}）、log⁡(x2+1)\log(x^2+1)（→2xx2+1\to\dfrac{2x}{x^2+1}）のように、三角関数・指数関数・対数関数と組み合わせて何度も出てきます。積分の置換積分・部分積分は、この公式と積の微分を逆向きに使ったものです。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

{(2x+1)3}′\{(2x+1)^3\}' で中身の微分をかけ忘れるな。×2\times2 して 6(2x+1)26(2x+1)^2 だ。

  • 積の微分を f′g′f'g' とする：(x⋅x)′=2x(x\cdot x)'=2x なのに 1×1=11\times1=1 になってしまう。正しくは f′g+fg′f'g+fg'。
  • 商の微分で分子の順番を逆にする：f′g−fg′f'g-fg' の順。逆にすると符号が反対になる。
  • 合成関数で中身の微分をかけ忘れる：{(2x+1)3}′=3(2x+1)2\{(2x+1)^3\}'=3(2x+1)^2 は間違い。×2\times2 を忘れずに 6(2x+1)26(2x+1)^2。

練習問題

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

外側を微分して、中身の微分をかける。これだね。

  1. 大学受験 y=x2sin⁡xy=x^2\sin x を微分しなさい。
    答えと解説を見る積の微分より y′=2xsin⁡x+x2cos⁡xy^{\prime}=2x\sin x+x^2\cos x
  2. 大学受験 y=3x−1x+2y=\dfrac{3x-1}{x+2} を微分しなさい。
    答えと解説を見るy′=3(x+2)−(3x−1)⋅1(x+2)2=7(x+2)2y^{\prime}=\dfrac{3(x+2)-(3x-1)\cdot1}{(x+2)^2}=\dfrac{7}{(x+2)^2}
  3. 大学受験 y=cos⁡3xy=\cos^3x を微分しなさい。
    答えと解説を見るu=cos⁡xu=\cos x とおくと y=u3y=u^3。y′=3u2⋅(−sin⁡x)=−3sin⁡xcos⁡2xy^{\prime}=3u^2\cdot(-\sin x)=-3\sin x\cos^2x

関連する公式

よくある質問

積の微分の公式は？

(fg)′=f′g+fg′ です。「前を微分して後ろそのまま」＋「前そのままで後ろを微分」と覚えます。

商の微分の公式は？

(f/g)′=(f′g−fg′)/g² です。分子は「分子の微分×分母」から「分子×分母の微分」を引く順番です。特に (1/g)′=−g′/g² もよく使います。

合成関数の微分とは？

y=f(g(x)) のように関数の中に関数が入っているとき、外側の関数を微分して中身はそのまま、最後に中身の微分 g′(x) をかける方法です。dy/dx=(dy/du)(du/dx) とも書きます。

何年生で習いますか？

高校の数学Ⅲ（微分法）で学びます。数学Ⅱでは多項式の微分だけを扱います。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅲ（微分法）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦