微分の公式｜(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹・積の微分の証明、微分の定義と接線・極値の例題【大学受験 数学Ⅱ・Ⅲ】

微分の公式｜(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹・積の微分の証明、微分の定義と接線・極値の例題【大学受験 数学Ⅱ・Ⅲ】

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大学受験

(xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}

定義 f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

この公式のポイント

  • 微分は接線の傾き＝瞬間の変化の割合
  • (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}：二項定理で展開すると、hh のかからない項だけが残る
  • 積の微分 (fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'：「引いて足す」で証明
  • 数学Ⅱで接線・増減・極値、数学Ⅲで積・商・合成関数
うかるくん

うかるくん

(xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} って、どうして指数が前に出てくるの？

合格先生

合格先生

二項定理で (x+h)n(x+h)^n を広げて h→0h\to0 とすると、hh のかからない nxn−1nx^{n-1} だけが残るからだ。

微分とは：瞬間の変化の割合

関数 f(x)f(x) のグラフ上の点で、接線の傾き（その瞬間の変化の割合）を求めることを微分といいます。2点を結ぶ直線の傾き（平均変化率）で、2点を限りなく近づけたものです。

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
x＝a接線点線：h を小さくしていく割線
2点を結ぶ直線（点線）は、hh を0に近づけると接線（赤）に近づく

微分の公式

基本の微分の公式

(xn)′=nxn−1(c)′=0{kf(x)+lg(x)}′=kf′(x)+lg′(x)(x^n)'=nx^{n-1}\qquad(c)'=0\qquad\{kf(x)+lg(x)\}'=kf'(x)+lg'(x)

積・商・合成関数の微分（数学Ⅲ）

{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x){f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2{f(g(x))}′=f′(g(x)) g′(x)\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\qquad\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\qquad\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\,g'(x)
関数導関数（数学Ⅲ）
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exe^xexe^x
log⁡x\log x1x\dfrac1x

(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ の証明

定義に入れて、二項定理で (x+h)n(x+h)^n を展開します。

(x+h)n=xn+nxn−1h+nC2xn−2h2+⋯+hn(x+h)^n=x^n+nx^{n-1}h+{}_n\mathrm{C}_2x^{n-2}h^2+\cdots+h^n (x+h)n−xnh=nxn−1+nC2xn−2h+⋯+hn−1\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_2x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}

h→0h\to0 とすると、2項目以降はすべて hh がかかっているので0になり、nxn−1nx^{n-1} だけが残ります。

例：n=2n=2 なら (x+h)2−x2h=2xh+h2h=2x+h→2x\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h\to2x。

積の微分の証明

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) に、f(x)g(x+h)f(x)g(x+h) を引いて足します（引いて足すのが工夫）。

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=f(x+h)−f(x)h g(x+h)+f(x) g(x+h)−g(x)h\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,g(x+h)+f(x)\,\frac{g(x+h)-g(x)}{h}

h→0h\to0 で f′(x)g(x)+f(x)g′(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。図で考えると、たて ff・横 gg の長方形の面積がふえる分は「たてがふえた分×横」＋「たて×横がふえた分」です。

Δf＝f(x＋h)−f(x)Δg＝g(x＋h)−g(x)f × gΔf × gf×ΔgΔfΔgh→0 で消えるfΔfgΔg
面積 fgfg がふえる分は、上の帯 Δf×g\Delta f\times g、右の帯 f×Δgf\times\Delta g、角の小さな長方形の3つ。hh で割って h→0h\to0 とすると角の分は0になり、f′g+fg′f^{\prime}g+fg^{\prime} が残る

大学受験での使い方

数学Ⅱでは多項式の微分で、接線の方程式、増減表・極値・最大最小を学びます。数学Ⅲでは積・商・合成関数、三角関数・指数関数・対数関数の微分に広がります。

大学受験

例題1（導関数）

f(x)=2x3−3x2+5f(x)=2x^3-3x^2+5 の導関数と、x=2x=2 での接線の傾きを求めなさい。

解き方

f′(x)=6x2−6xf^{\prime}(x)=6x^2-6x。f′(2)=24−12=12f^{\prime}(2)=24-12=12。

答え　f′(x)=6x2−6xf^{\prime}(x)=6x^2-6x、傾き 1212

大学受験

例題2（接線の方程式）

y=x2y=x^2 のグラフ上の点 (3, 9)(3,\ 9) における接線の方程式を求めなさい。

解き方

y′=2xy^{\prime}=2x なので傾きは 66。y−9=6(x−3)y-9=6(x-3) より y=6x−9y=6x-9。

答え　y=6x−9y=6x-9

大学受験

例題3（極値）

f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x の極値を求めなさい。

解き方

f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。x=−1x=-1 の前後で +→−+\to- なので極大値 f(−1)=2f(-1)=2、x=1x=1 の前後で −→+-\to+ なので極小値 f(1)=−2f(1)=-2。

答え　極大値 22（x=−1x=-1）、極小値 −2-2（x=1x=1）

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

積の微分を f′g′f'g' にするな。正しくは f′g+fg′f'g+fg' だぞ。

  • 定数を微分して残す：定数の微分は0。
  • f′(a)=0f^{\prime}(a)=0 なら必ず極値と考える：x3x^3 の x=0x=0 のように、前後で符号が変わらなければ極値ではない。
  • 積の微分を f′g′f^{\prime}g^{\prime} にする：正しくは f′g+fg′f^{\prime}g+fg^{\prime}。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

長方形の面積がふえる図を思い出せば、積の微分も忘れないね

  1. 大学受験 y=4x3−x2+7xy=4x^3-x^2+7x を微分しなさい。
    答えと解説を見るy′=12x2−2x+7y^{\prime}=12x^2-2x+7
  2. 大学受験 定義にしたがって f(x)=x2+3xf(x)=x^2+3x の導関数を求めなさい。
    答えと解説を見る(x+h)2+3(x+h)−x2−3xh=2xh+h2+3hh=2x+h+3→2x+3\dfrac{(x+h)^2+3(x+h)-x^2-3x}{h}=\dfrac{2xh+h^2+3h}{h}=2x+h+3\to2x+3。答え 2x+32x+3
  3. 大学受験 y=x3−6x2+9xy=x^3-6x^2+9x の極小値を求めなさい。
    答えと解説を見るy′=3(x−1)(x−3)y^{\prime}=3(x-1)(x-3)。x=3x=3 で極小、y=27−54+27=0y=27-54+27=0。答え 00

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よくある質問

微分の公式は？

(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹、定数の微分は0、{kf(x)+lg(x)}'=kf'(x)+lg'(x) が基本です。数学Ⅲでは積・商・合成関数の微分も使います。

微分とは何ですか？

関数のグラフの接線の傾き、つまりその瞬間の変化の割合を求めることです。f'(x)=lim(h→0){f(x+h)−f(x)}/h で定義します。

(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ はなぜ成り立つのですか？

(x+h)ⁿ を二項定理で展開して x ⁿ を引き、h で割ると nxⁿ⁻¹ と h のかかった項が残ります。h→0 で h のかかった項が消えるからです。

積の微分の公式は？

{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) です。

微分は何年生で習いますか？

高校2年ごろ数学Ⅱで多項式の微分、高校3年ごろ数学Ⅲで積・商・合成関数や三角関数などの微分を学びます。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅱ（微分・積分の考え）・数学Ⅲ（微分法）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦