定積分と面積の求め方｜「上−下」を積分する理由・1/6公式の証明・x軸より下の面積と例題【数学Ⅱ・大学受験】

定積分と面積の求め方｜「上−下」を積分する理由・1/6公式の証明・x軸より下の面積と例題【数学Ⅱ・大学受験】

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大学受験

S=∫ab{f(x)−g(x)} dxS=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx

1/6公式：面積＝∣a∣(β−α)36\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}

この公式のポイント

  • 面積は ∫\int（上−下）dxdx
  • xx 軸より下でも「上−下」なら高さは正
  • 1/6公式：∣a∣(β−α)36\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}
  • 上下が入れかわるところで区間を分ける
うかるくん

うかるくん

グラフが xx 軸より下にあるとき、面積はどう出すの？

合格先生

合格先生

いつも「上−下」を積分すればいい。下にあるなら、xx 軸 y=0y=0 を「上」とみるんだ。

定積分と面積の公式

2つのグラフで囲まれた面積

a≤x≤ba\le x\le b で f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) のとき

S=∫ab{f(x)−g(x)} dx(上−下)S=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx\qquad(\text{上}-\text{下})

1/6公式：放物線と直線（または xx 軸）が x=α, βx=\alpha,\ \beta で交わるとき

∫αβ(x−α)(x−β) dx=−(β−α)36\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}
上−下(2, 4)y＝2xy＝x²S＝∫₀² (2x−x²)dx＝4/3
y=2xy=2x（上）と y=x2y=x^2（下）で囲まれた部分。高さは「上−下」

証明①：なぜ「上−下」を積分するのか

xx を少しずつ区切ると、囲まれた部分は、たて f(x)−g(x)f(x)-g(x)、横 dxdx の細長い長方形の集まりです。それを全部足したものが定積分 ∫ab{f(x)−g(x)}dx\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx（積分で面積が求まる理由）。グラフが xx 軸より下にあっても、「上−下」なら高さはいつも正なので、そのまま使えます。

−11y＝x²−1x 軸より下 → 積分の値は負、面積は −∫S＝(1−(−1))³/6＝4/3（1/6公式）
xx 軸より下にある部分は、xx 軸（y=0y=0）を「上」として計算する

証明②：1/6公式

(x−α)(x−β)=(x−α){(x−α)−(β−α)}=(x−α)2−(β−α)(x−α)(x-\alpha)(x-\beta)=(x-\alpha)\{(x-\alpha)-(\beta-\alpha)\}=(x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha) と変形すると、

∫αβ(x−α)(x−β) dx=[(x−α)33−(β−α)(x−α)22]αβ=(β−α)33−(β−α)32=−(β−α)36\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\left[\frac{(x-\alpha)^3}{3}-\frac{(\beta-\alpha)(x-\alpha)^2}{2}\right]_\alpha^\beta=\frac{(\beta-\alpha)^3}{3}-\frac{(\beta-\alpha)^3}{2}=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}

x2x^2 の係数が aa なら ∣a∣(β−α)36\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6} が面積。交点の xx 座標の差だけで面積が出ます。

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

大学受験

例題1（直線と放物線）

y=2xy=2x と y=x2y=x^2 で囲まれた部分の面積を求めなさい。

解き方

交点 x=0, 2x=0,\ 2。0≤x≤20\le x\le2 で 2x≥x22x\ge x^2。

S=∫02(2x−x2)dx=[x2−x33]02=4−83=43S=\displaystyle\int_0^2(2x-x^2)dx=\left[x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2=4-\dfrac83=\dfrac43。（1/6公式：236=43\dfrac{2^3}{6}=\dfrac43）

答え　43\dfrac43

大学受験

例題2（x軸より下）

y=x2−1y=x^2-1 と xx 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

解き方

−1≤x≤1-1\le x\le1 で xx 軸より下。S=−∫−11(x2−1)dx=(1−(−1))36=86=43S=-\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2-1)dx=\dfrac{(1-(-1))^3}{6}=\dfrac86=\dfrac43。

答え　43\dfrac43

大学受験

例題3（上に凸）

y=−x2+4xy=-x^2+4x と xx 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。

解き方

交点 x=0, 4x=0,\ 4。1/6公式で 436=323\dfrac{4^3}{6}=\dfrac{32}{3}。

答え　323\dfrac{32}{3}

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

xx 軸の上下にまたがるのに1回で積分すると、正と負が打ち消し合う。区間を分けよう。

  • 「下−上」で積分して負になる：いつも上から下を引く。
  • xx 軸の上下にまたがるのに1回で積分する：正と負が打ち消し合う。区間を分ける。
  • 1/6公式で係数を忘れる：x2x^2 の係数 aa を ∣a∣|a| 倍する。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

交点が分かれば、1/6公式も使えるね。

  1. 大学受験 y=x2y=x^2 と y=xy=x で囲まれた面積は？
    答えと解説を見る交点 0, 1。136=16\dfrac{1^3}{6}=\dfrac16
  2. 大学受験 y=x2−2xy=x^2-2x と xx 軸で囲まれた面積は？
    答えと解説を見る交点 0, 2。236=43\dfrac{2^3}{6}=\dfrac43
  3. 大学受験 y=2x2y=2x^2 と y=4xy=4x で囲まれた面積は？
    答えと解説を見る交点 0, 2、係数2。2⋅236=83\dfrac{2\cdot2^3}{6}=\dfrac83

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よくある質問

2つのグラフで囲まれた面積の求め方は？

交点のx座標を求め、その間で上にあるグラフから下にあるグラフを引いたものを積分します。

1/6公式とは？

∫(x−α)(x−β)dx（αからβまで）=−(β−α)³/6 という公式で、放物線と直線で囲まれた面積がすぐに求まります。

x軸より下にある部分の面積は？

x軸（y=0）を上のグラフとして「上−下」を積分します。積分の値に−をつけたものと同じです。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅱ（微分・積分の考え）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦