積分の公式と微分積分学の基本定理｜なぜ面積が求まるのかの証明・不定積分一覧・面積の例題【大学受験 数学Ⅱ・Ⅲ】

積分の公式

積分は、微分の逆の計算（不定積分）と、グラフで囲まれた面積を求める計算（定積分）の2つの顔を持っています。この2つが同じものであることを示すのが微分積分学の基本定理です。

不定積分の公式は、どれも右辺を微分すると左辺にもどることで確かめられます：$\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)'=x^n$。

微分積分学の基本定理：なぜ面積が「微分の逆」で求まるのか

$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸の間で、$a$ から $x$ までの面積を $S(x)$ とします。

1. $x$ を $h$ だけふやすと、面積は $S(x+h)-S(x)$ だけふえます。
2. この細い部分は、幅 $h$、高さがほぼ $f(x)$ の長方形とみなせます：$S(x+h)-S(x)\fallingdotseq f(x)\cdot h$。（正確には、区間の中の最小値 $m$ と最大値 $M$ で $mh\le S(x+h)-S(x)\le Mh$ とはさめる）
3. $h$ で割って $h\to0$ とすると、$m,\ M$ はどちらも $f(x)$ に近づくので、

$$S'(x)=\lim_{h\to0}\frac{S(x+h)-S(x)}{h}=f(x)$$

つまり、面積の関数 $S(x)$ を微分すると $f(x)$ になる。$S(x)$ は $f(x)$ の不定積分の1つなので、$S(x)=F(x)+C$ と書けます。$S(a)=0$ から $C=-F(a)$。よって $a$ から $b$ までの面積は

$$S(b)=F(b)-F(a)=\int_a^bf(x)\,dx$$

これが「面積を求めるには、微分すると $f(x)$ になる関数をさがせばよい」理由です。ニュートンとライプニッツが17世紀に見つけた、微分と積分をつなぐ大発見です。

大学受験での使い方

数学Ⅱでは多項式の不定積分・定積分と面積、数学Ⅲでは置換積分・部分積分、体積（断面積の積分）、曲線の長さなどを学びます。

放物線と直線で囲まれた面積は $\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$（いわゆる「6分の1公式」）でも求められます：$\dfrac16\times3^3=\dfrac92$。

よくある間違い

• 積分定数 $C$ を忘れる（不定積分のとき）。定積分では消えるので不要。
• 面積で上下を逆にする：（上の関数）−（下の関数）を積分する。
• $x$ 軸の下の部分：定積分は負になるので、面積はマイナスをつけて正にする。

練習問題

1. 大学受験 $\displaystyle\int(4x^3-6x+1)\,dx$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $x^4-3x^2+x+C$
2. 大学受験 $\displaystyle\int_0^2x^2\,dx$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^2=\dfrac83$。答え $\dfrac83$
3. 大学受験 $y=-x^2+4$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $x=\pm2$。$\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\Big[4x-\dfrac{x^3}{3}\Big]_{-2}^{2}=\dfrac{16}{3}\times2=\dfrac{32}{3}$。答え $\dfrac{32}{3}$

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