ウォリス積分の公式｜∫sin^nx dxの漸化式In=(n−1)/n In−2の証明・偶数と奇数の値・極限の例題【大学数学・東大京大レベル】

ウォリス積分の公式｜∫sin^nx dxの漸化式In=(n−1)/n In−2の証明・偶数と奇数の値・極限の例題【大学数学・東大京大レベル】

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大学受験大学院入試

∫0π2sin⁡nx dx=n−1n∫0π2sin⁡n−2x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx=\frac{n-1}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,dx

I0=π2I_0=\dfrac{\pi}{2}、I1=1I_1=1。偶数なら最後に π2\dfrac{\pi}{2}、奇数なら最後は 11

この公式のポイント

  • In=n−1nIn−2I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}（部分積分で作る）
  • 偶数は最後に π2\dfrac{\pi}{2}、奇数は最後に 11
  • sin⁡nx\sin^nx でも cos⁡nx\cos^nx でも同じ値
  • nInIn−1=π2nI_nI_{n-1}=\dfrac{\pi}{2} から極限・ウォリスの公式へ
うかるくん

うかるくん

sin⁡nx\sin^nx の積分、偶数と奇数で答えの形がちがうのはなぜ？

合格先生

合格先生

漸化式をさかのぼると、偶数は I0=π2I_0=\dfrac{\pi}{2}、奇数は I1=1I_1=1 にたどり着く。だから偶数だけ π\pi が入るんだ。

ウォリス積分の公式

In=∫0π2sin⁡nx dxI_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx は、部分積分で2つ前の In−2I_{n-2} との漸化式が作れ、すべての nn で値が求まります。cos⁡nx\cos^nx でも同じ値です。

ウォリス積分（ウォリスの公式）

In=∫0π2sin⁡nx dx=∫0π2cos⁡nx dx,In=n−1nIn−2 (n≥2)I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,dx,\qquad I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\ (n\ge2)I0=π2,I1=1I_0=\frac{\pi}{2},\quad I_1=1

これをくり返すと

In={n−1n⋅n−3n−2⋯12⋅π2(n が偶数)n−1n⋅n−3n−2⋯23⋅1(n が奇数)I_n=\begin{cases}\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac12\cdot\dfrac{\pi}{2}&(n\text{ が偶数})\\[2mm]\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac23\cdot1&(n\text{ が奇数})\end{cases}
1Oπ/2xn＝1：I₁＝1n＝2：I₂＝π/4≒0.785n＝4：I₄＝3π/16≒0.589n＝8：I₈＝35π/256≒0.430うすい青：I₁ の面積
y=sin⁡nxy=\sin^nx のグラフ。nn が大きいほど面積 InI_n は小さくなる

覚え方：分数を n−1n\dfrac{n-1}{n} から1ずつ下げてかけていき、偶数なら最後に π2\dfrac{\pi}{2}、奇数なら最後は 11。たとえば I6=56⋅34⋅12⋅π2=5π32I_6=\dfrac56\cdot\dfrac34\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{32}、I5=45⋅23⋅1=815I_5=\dfrac45\cdot\dfrac23\cdot1=\dfrac{8}{15}。

証明：部分積分で漸化式を作る

① 漸化式

n≥2n\ge2 とします。sin⁡nx=sin⁡n−1x⋅sin⁡x\sin^nx=\sin^{n-1}x\cdot\sin x と分けて、sin⁡x=(−cos⁡x)′\sin x=(-\cos x)' で部分積分します。

In=[−sin⁡n−1xcos⁡x]0π2+(n−1)∫0π2sin⁡n−2xcos⁡2x dx=0+(n−1)∫0π2sin⁡n−2x (1−sin⁡2x) dx=(n−1)(In−2−In)\begin{aligned}I_n&=\Big[-\sin^{n-1}x\cos x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}+(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx\\&=0+(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,(1-\sin^2x)\,dx\\&=(n-1)(I_{n-2}-I_n)\end{aligned}

（両はしで sin⁡0=0\sin0=0、cos⁡π2=0\cos\dfrac{\pi}{2}=0 なので、かっこの中は 00。）InI_n を左にまとめると nIn=(n−1)In−2nI_n=(n-1)I_{n-2}、つまり In=n−1nIn−2I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2} です。

② 出発点と、sin と cos が同じになること

I0=∫0π21 dx=π2I_0=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}1\,dx=\frac{\pi}{2}、I1=[−cos⁡x]0π2=1I_1=\Big[-\cos x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=1。また x=π2−tx=\dfrac{\pi}{2}-t と置換すると sin⁡x=cos⁡t\sin x=\cos t、範囲は π2→0\dfrac{\pi}{2}\to0 なので

∫0π2sin⁡nx dx=∫0π2cos⁡nt dt\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nt\,dt

グラフでは、sin⁡nx\sin^nx と cos⁡nx\cos^nx が直線 x=π4x=\dfrac{\pi}{4} について対称だということです。n=2n=2 では、図2のように sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1 と対称性から、すぐに I2=π4I_2=\dfrac{\pi}{4} が分かります。

π/4π/2O1sin²x1−sin²x＝cos²x青と橙は π/4 について対称で同じ面積I₂＝(長方形 π/2×1)÷2＝π/4
sin⁡2x\sin^2x と cos⁡2x\cos^2x は対称で、たすと1。だから I2I_2 は長方形の半分 π4\dfrac{\pi}{4}

大学受験での使い方

漸化式を答案の中で部分積分から導くのが基本です。そのうえで、InI_n が減っていくこと（0≤sin⁡x≤10\le\sin x\le1 なので sin⁡n+1x≤sin⁡nx\sin^{n+1}x\le\sin^nx）と組み合わせて、極限の問題に発展します。

大学受験

例題1（奇数乗）

∫0π2sin⁡5x dx\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^5x\,dx を求めなさい。

解き方

I5=45I3=45⋅23I1=45⋅23⋅1I_5=\dfrac45I_3=\dfrac45\cdot\dfrac23I_1=\dfrac45\cdot\dfrac23\cdot1。

答え　815\dfrac{8}{15}

大学受験

例題2（偶数乗・cos）

∫0π2cos⁡6x dx\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^6x\,dx を求めなさい。

解き方

cos でも I6I_6 と同じ。I6=56⋅34⋅12⋅π2=1548⋅π2=5π32I_6=\dfrac56\cdot\dfrac34\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{15}{48}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{32}。

答え　5π32\dfrac{5\pi}{32}

大学受験

例題3（極限への発展）

(1) nInIn−1=π2nI_nI_{n-1}=\dfrac{\pi}{2}（n≥1n\ge1）を示しなさい。(2) lim⁡n→∞n In\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt n\,I_n を求めなさい。

解き方

(1) 漸化式から nInIn−1=(n−1)In−2In−1nI_nI_{n-1}=(n-1)I_{n-2}I_{n-1}。つまり an=nInIn−1a_n=nI_nI_{n-1} とおくと an=an−1a_n=a_{n-1} で、a1=1⋅I1I0=π2a_1=1\cdot I_1I_0=\dfrac{\pi}{2}。

(2) In+1≤In≤In−1I_{n+1}\le I_n\le I_{n-1} なので、nInIn+1≤nIn2≤nInIn−1nI_nI_{n+1}\le nI_n^2\le nI_nI_{n-1}。(1) より右はしは π2\dfrac{\pi}{2}、左はしは nn+1⋅π2→π2\dfrac{n}{n+1}\cdot\dfrac{\pi}{2}\to\dfrac{\pi}{2}。はさみうちで nIn2→π2nI_n^2\to\dfrac{\pi}{2}。

答え　(2) π2\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

  • 範囲：部分積分で漸化式 In=n−1nIn−2I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2} を作るところまでは、数学Ⅲの積分法の範囲で解けます。一方、そこから出てくる次のウォリスの公式（円周率の無限積）は、教科書の本文の範囲外の発展内容です。
  • ウォリスの公式：I2n+1≤I2n≤I2n−1I_{2n+1}\le I_{2n}\le I_{2n-1} を I2n+1I_{2n+1} で割ると 1≤I2nI2n+1≤2n+12n1\le\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}}\le\dfrac{2n+1}{2n} なので I2nI2n+1→1\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}}\to1。公式に入れて整理すると π2=lim⁡n→∞2⋅21⋅3⋅4⋅43⋅5⋯2n⋅2n(2n−1)(2n+1)\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot2}{1\cdot3}\cdot\frac{4\cdot4}{3\cdot5}\cdots\frac{2n\cdot2n}{(2n-1)(2n+1)}
  • 答案での使い方：「ウォリスの公式より」と書くより、漸化式を部分積分で導いてから使うのが安全です。結果の式（偶数で π2\dfrac{\pi}{2} をかける形）は、検算に使いましょう。
  • 入試の背景：難関大の入試では、InI_n の漸化式から nInIn−1nI_nI_{n-1} や nIn\sqrt nI_n の極限を求める問題のように、ウォリス積分が背景になっている問題があります。nIn\sqrt nI_n の極限は、スターリングの公式の 2π\sqrt{2\pi} を決めるのにも使われます。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

In=nn−1In−2I_n=\dfrac{n}{n-1}I_{n-2} と逆にするな。InI_n は減っていくから、かける数は n−1n\dfrac{n-1}{n} だぞ。

  • π2\dfrac{\pi}{2} のかけ忘れ・かけすぎ：π2\dfrac{\pi}{2} をかけるのは偶数のときだけ（I0=π2I_0=\dfrac{\pi}{2} から始まるから）。奇数は I1=1I_1=1 から始まるので π\pi は出ません。
  • 分数を逆にする：In=nn−1In−2I_n=\dfrac{n}{n-1}I_{n-2} は誤り。InI_n は nn が大きいほど小さくなるので、かける数は1より小さい n−1n\dfrac{n-1}{n} です。
  • 区間がちがうのに使う：公式は 00 から π2\dfrac{\pi}{2} まで。たとえば ∫0πcos⁡3x dx\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^3x\,dx は、π2\dfrac{\pi}{2} の左右で打ち消し合って 00 です。

練習問題

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

漸化式は部分積分から自分で導こう。

  1. 大学受験 ∫0π2sin⁡4x dx\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\,dx を求めなさい。
    答えと解説を見るI4=34⋅12⋅π2=3π16I_4=\dfrac34\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{16}
  2. 大学受験 ∫0π2sin⁡7x dx\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^7x\,dx を求めなさい。
    答えと解説を見るI7=67⋅45⋅23⋅1=48105=1635I_7=\dfrac67\cdot\dfrac45\cdot\dfrac23\cdot1=\dfrac{48}{105}=\dfrac{16}{35}
  3. 大学受験 ∫0π2sin⁡2xcos⁡2x dx\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\cos^2x\,dx を求めなさい。
    答えと解説を見るcos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x より I2−I4=π4−3π16=π16I_2-I_4=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{3\pi}{16}=\dfrac{\pi}{16}

関連する公式

よくある質問

ウォリス積分とは？

0からπ/2までのsinⁿx（またはcosⁿx）の定積分のことです。I_n=(n−1)/n·I_(n−2) という漸化式で、すべてのnの値が求まります。

ウォリス積分の漸化式はどうやって証明しますか？

sinⁿx=sinⁿ⁻¹x·sinx と分けて部分積分し、cos²x=1−sin²x を使うと I_n=(n−1)(I_(n−2)−I_n) となり、整理すると I_n=(n−1)/n·I_(n−2) が出ます。

偶数と奇数で答えがちがうのはなぜですか？

偶数は I_0=π/2、奇数は I_1=1 からさかのぼるからです。偶数のときだけ答えにπが入ります。

ウォリスの公式とは？

π/2 を (2·2)/(1·3)·(4·4)/(3·5)·… という無限の積で表す公式です。ウォリス積分の大小関係とはさみうちから導けます。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅲ（積分法）
  • 大学初年級の微分積分学（ウォリスの公式は範囲外の発展内容）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦