和と積分の大小（積分による不等式の評価）の公式｜Σ1/k＞log(n+1)の証明・調和級数の発散・和の整数部分【大学数学・東大京大レベル】

和と積分の大小（積分による不等式の評価）

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1k$ のように、きれいな式で計算できない和も、長方形の面積の和と見て曲線の下の面積（定積分）とくらべれば、上と下から「はさむ」ことができます。

なぜ成り立つのか（証明）

手順1：1つの区間で不等式を作る。$f$ は減少なので、$k\le x\le k+1$ では $f(k+1)\le f(x)\le f(k)$。等号は区間のはしだけで成り立ち、ほかでは成り立たないので、積分すると等号のない不等式になります（$f(x)$ が連続で $f(k)-f(x)\ge0$、しかも恒等的に0ではないので、積分は正）。

$$f(k+1)=\int_k^{k+1}f(k+1)\,dx<\int_k^{k+1}f(x)\,dx<\int_k^{k+1}f(k)\,dx=f(k)$$

図で見ると、幅1の長方形2つの間に、曲線の下の部分がはさまれているということです。

手順2（下からの評価）：右側の不等式 $\displaystyle\int_k^{k+1}f(x)\,dx<f(k)$ を $k=1,2,\dots,n$ で足すと、積分の区間がつながって

$$\int_1^{n+1}f(x)\,dx<\sum_{k=1}^{n}f(k)$$

手順3（上からの評価）：左側の不等式 $\displaystyle f(k+1)<\int_k^{k+1}f(x)\,dx$ を $k=1,2,\dots,n-1$ で足すと $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}f(k)<\int_1^{n}f(x)\,dx$。両辺に $f(1)$ を足せば上からの評価になります。

増加する関数のとき：$k-1\le x\le k$ で $f(x)\le f(k)$ なので $\displaystyle\int_{k-1}^{k}f(x)\,dx<f(k)$。足すと $\displaystyle\int_0^{n}f(x)\,dx<\sum_{k=1}^{n}f(k)$（$x=0$ で定義されない関数なら $k=2$ から足す）。長方形が曲線のどちら側にあるかを図で確かめるのがいちばん確実です。

大学受験での使い方

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

「和を積分ではさむ」考え方は、数学Ⅲの定積分と不等式の応用として教科書や参考書に出てくる内容で、決まった名前のついた公式ではありません。一方で、$\log n!$ の評価（スターリングの公式の入り口）や、$\sum\frac1{k^2}$ を上から見積もること（バーゼル問題の見当づけ）など、大学数学の話題につながっています。

• 答案での使い方：結論の不等式だけを書くのは危険です。「区間で $f(k+1)\le f(x)\le f(k)$、等号ははしだけ、積分して足す」という流れを、毎回きちんと書きます。
• 図をそえる：長方形と曲線の図を描くと、不等号の向きと、積分の区間（$n$ までか $n+1$ までか）を確かめられます。
• 見当づけ・検算：和のおよその大きさを積分で先に見積もると、答えの桁や整数部分が予想できます。
• 難関大の入試では、このような評価が背景になっている問題があります。

よくある間違い

• 増加か減少かを確かめない：長方形が曲線の上か下かは、関数の増減で決まる。増加関数では向きが逆。
• 上からの評価で最初の項を忘れる：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1k<\log n$ は誤り。正しくは $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\frac1k<\log n$ で、$1+\log n$ でおさえる。
• 足す範囲と積分の区間がずれる：$k=1$ から $n$ まで足したら、積分は $1$ から $n+1$ まで。

練習問題

1. 大学受験 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}<2$ を示しなさい。
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   $k\ge2$ のとき、$k-1\le x\le k$ で $\dfrac1{k^2}\le\dfrac1{x^2}$（等号は $x=k$ だけ）なので $\dfrac1{k^2}<\displaystyle\int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x^2}$。$k=2$ から $n$ まで足すと $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\frac1{k^2}<\int_1^n\frac{dx}{x^2}=1-\frac1n$。よって和は $2-\dfrac1n$ より小さく、$2$ より小さい（$n=1$ のときは $1<2$）
2. 大学受験 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10000}\frac1{\sqrt k}$ の整数部分を求めなさい。
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   例題2と同じく $2\sqrt{10001}-2<S<1+(200-2)=199$。$\sqrt{10001}>100$ より左は $198$ より大きい。整数部分は $198$
3. 大学受験 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt k>\frac23n\sqrt n$ を示しなさい。
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   $f(x)=\sqrt x$ は増加。$k-1\le x\le k$ で $\sqrt x\le\sqrt k$（等号は $x=k$ だけ）なので $\displaystyle\int_{k-1}^{k}\sqrt x\,dx<\sqrt k$。$k=1$ から $n$ まで足すと $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt k>\int_0^n\sqrt x\,dx=\frac23n\sqrt n$

関連する公式

• 区分求積法（和と積分を結ぶもう1つの道具）
• 定積分と面積
• 積分の公式
• 数列の極限・無限等比級数
• スターリングの公式
• バーゼル問題

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）