バーゼル問題 Σ1/n²＝π²/6 の公式｜高校数学でできる証明（ド・モアブル・解と係数・はさみうち）と例題【大学数学・東大京大レベル】

バーゼル問題の答え

平方数の逆数をすべて足すといくつになるか――これがバーゼル問題です。答えは、円周率 $\pi$ を使って次のように表せます。

整数の逆数の2乗を足したのに、円の数 $\pi$ が出てくるのが不思議なところです。名前はスイスの都市バーゼルにちなみます。この問題を18世紀前半に解いたのがオイラーです。足していく速さはゆっくりで、15項足してもまだ $1.580$ ほどです。

証明（高校数学で示せる方法）

ここでは、ド・モアブルの定理と解と係数の関係、はさみうちの原理だけを使う証明を紹介します。$\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$ と書きます。

ステップ1：sin x ＜ x ＜ tan x から不等式を作る

$0<x<\dfrac{\pi}{2}$ では $\sin x<x<\tan x$（下の図）。逆数をとって2乗すると

$$\cot^2x<\frac{1}{x^2}<\frac{1}{\sin^2x}=1+\cot^2x\tag{1}$$

ステップ2：cot² の和を求める

$n=2m+1$（奇数）とします。ド・モアブルの定理 $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$ の左辺を二項定理で展開し、虚部をくらべると

$$\sin n\theta=\sum_{j=0}^{m}(-1)^j\binom{n}{2j+1}\cos^{n-2j-1}\theta\,\sin^{2j+1}\theta$$

（$\binom{n}{k}$ は ${}_n\mathrm{C}_k$ のこと。）両辺を $\sin^n\theta$ でわると

$$\frac{\sin n\theta}{\sin^n\theta}=\binom{n}{1}\cot^{2m}\theta-\binom{n}{3}\cot^{2m-2}\theta+\binom{n}{5}\cot^{2m-4}\theta-\cdots$$

$\theta_k=\dfrac{k\pi}{n}$（$k=1,2,\cdots,m$）では $\sin n\theta_k=\sin k\pi=0$。よって $t_k=\cot^2\theta_k$ は、$m$ 次方程式

$$\binom{n}{1}t^m-\binom{n}{3}t^{m-1}+\binom{n}{5}t^{m-2}-\cdots=0$$

の解です。$0<\theta_1<\cdots<\theta_m<\dfrac{\pi}{2}$ なので $t_1,\cdots,t_m$ はすべて異なり、これで $m$ 個の解が全部そろいます。解と係数の関係から

$$\sum_{k=1}^{m}\cot^2\frac{k\pi}{2m+1}=\frac{\binom{n}{3}}{\binom{n}{1}}=\frac{(2m+1)\cdot2m\cdot(2m-1)}{6\,(2m+1)}=\frac{m(2m-1)}{3}\tag{2}$$

ステップ3：はさみうち

(1) に $x=\theta_k=\dfrac{k\pi}{2m+1}$ を入れて $k=1$ から $m$ まで足し、(2) を使うと

$$\frac{m(2m-1)}{3}<\frac{(2m+1)^2}{\pi^2}\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k^2}<\frac{m(2m-1)}{3}+m=\frac{m(2m+2)}{3}$$

全体に $\dfrac{\pi^2}{(2m+1)^2}$ をかけると

$$\frac{\pi^2}{6}\cdot\frac{2m(2m-1)}{(2m+1)^2}<\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k^2}<\frac{\pi^2}{6}\cdot\frac{2m(2m+2)}{(2m+1)^2}$$

$m\to\infty$ で左右とも $\dfrac{\pi^2}{6}$ に近づく（$\dfrac{4m^2}{4m^2}\to1$）ので、はさみうちの原理より $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$ です。

（オイラー自身は、$\dfrac{\sin x}{x}$ を因数分解のように無限積で表して係数をくらべる方法で答えを見つけました。その方法を厳密にするには大学の内容が必要です。）

大学受験（数学Ⅲ 極限）での使い方

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

• 範囲外の結果：$\sum\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$ は高校の教科書には出てきません（大学の内容）。高校で学ぶ無限級数は、おもに無限等比級数や、となりどうしが消える形の和です。
• 答案にそのまま使わない：問題文で与えられていない限り、「$\dfrac{\pi^2}{6}$ だから」と答案に書くのは避けましょう。上の証明をすべて書くのは長いので、入試では「上からおさえる」「下からおさえる」評価（例題1や積分による評価）として問われるのがふつうです。
• 見当づけ・検算に使う：$\sum\dfrac{1}{n^2}$ を評価する問題で、自分の出した上限・下限が $1.6449\cdots$ をはさんでいるかを確かめると、計算ミスに気づけます。
• 難関大の入試では、$\cot^2$ の和（証明の (2)）や、$\displaystyle\int_0^{\pi/2}x^2\cos^{2n}x\,dx$ のような積分の評価から $\dfrac{\pi^2}{6}$ にたどり着く誘導つきの問題が、背景になっている例があります。

よくある間違い

• $\sum\dfrac{1}{n}$ も収束すると思う：$1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots$（調和級数）は限りなく大きくなります（発散）。2乗にすると収束します。
• 奇数だけの和と取りちがえる：全部の和は $\dfrac{\pi^2}{6}$、奇数だけなら $\dfrac{\pi^2}{8}$、交互の和は $\dfrac{\pi^2}{12}$。
• $k=1$ から $\dfrac{1}{k^2}<\dfrac{1}{k(k-1)}$ を使う：$k=1$ では分母が0。$k=1$ の項は別にして、$k\ge2$ で使います。

練習問題

1. 大学受験 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n)^2}$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\dfrac14\sum\dfrac{1}{n^2}=\dfrac14\cdot\dfrac{\pi^2}{6}=\dfrac{\pi^2}{24}$
2. 大学受験 $1-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{4^2}+\cdots$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   奇数の和 $\dfrac{\pi^2}{8}$ から偶数の和 $\dfrac{\pi^2}{24}$ を引いて $\dfrac{3\pi^2-\pi^2}{24}=\dfrac{\pi^2}{12}$
3. 大学受験 $\cot^2\dfrac{\pi}{7}+\cot^2\dfrac{2\pi}{7}+\cot^2\dfrac{3\pi}{7}$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $n=7$（$m=3$）。$t$ は $7t^3-35t^2+21t-1=0$ の解なので、和は $\dfrac{35}{7}=5$。証明の (2) でも $\dfrac{3\cdot5}{3}=5$

関連する公式

• 数列の極限・無限等比級数
• ド・モアブルの定理
• 解と係数の関係
• 積分による不等式の評価
• ウォリス積分
• オイラーの公式
• フーリエ級数

よくある質問

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