フーリエ級数の公式｜係数の導き方（三角関数の直交性）・パーセバルの等式・Σ1/n²の求め方と例題【大学院入試・応用数学】

うかるくん

フーリエ係数の式、なんで $\cos nx$ をかけて積分するの？

合格先生

三角関数の直交性だ。違う $n$ どうしの積は1周期で積分すると0になるから、ほしい係数だけが残るんだぞ。

フーリエ級数の公式

周期をもつ関数を、$\cos nx$ と $\sin nx$ の重ね合わせ（無限の和）で表すのがフーリエ級数です。どの周波数の成分がどれだけ入っているかを、係数 $a_n,\ b_n$ が教えてくれます。

図1の矩形波は奇関数なので、サインだけで $f(x)\sim\dfrac4\pi\left(\sin x+\dfrac{\sin3x}{3}+\dfrac{\sin5x}{5}+\cdots\right)$ と表せます。項を増やすほど矩形波に近づきますが、とびの近くでは少し飛び出す部分が残ります（ギブズ現象。項を増やしても、飛び出しの高さはとびの幅の約9％から小さくならない）。

なぜこの係数になるのか（証明）

① 三角関数の直交性

$m,\ n$ を正の整数とすると、積を和に直す公式から

たとえば $m\neq n$ なら $\sin mx\sin nx=\dfrac12\{\cos(m-n)x-\cos(m+n)x\}$ で、$\cos kx$（$k\neq0$ の整数）を $-\pi$ から $\pi$ まで積分すると $\left[\dfrac{\sin kx}{k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$ です。$m=n$ なら $\sin^2nx=\dfrac{1-\cos2nx}{2}$ で積分は $\pi$。$\sin mx\cos nx$ は奇関数なので $0$ です。

② 係数を取り出す

$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ と書けて、項ごとに積分してよいとします。両辺に $\cos mx$ をかけて $-\pi$ から $\pi$ まで積分すると、直交性により $n=m$ の $\cos$ の項以外はすべて $0$ になり

$\sin mx$ をかければ $b_m$ が同じように出ます。定数項を $\dfrac{a_0}{2}$ と書くのは、$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=2\pi$ なので、こうしておくと $a_0$ も $a_n$ と同じ式（$n=0$）で書けるからです。

③ 収束について（略証）

上の計算は「級数で表せる」と仮定して係数を決めたものです。実際に級数がもとの関数に戻ることは別に示す必要があり、大学の授業では次の定理（ディリクレの定理）を学びます。証明は長いのでここでは略します。

$f$ が区分的に滑らか（なめらかな部分をつないだ形）なら、フーリエ級数は各点 $x$ で $\dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$ に収束する。連続な点では $f(x)$ に、とびの点では左右の値の平均に収束します（図1の $x=0$ では $0$）。

大学院入試では

院試では「係数を計算する → 特別な $x$ を代入するかパーセバルの等式で級数の和を求める」という流れがよく出ます。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：工学部・理学部の「応用数学」「フーリエ解析」「物理数学」などで学びます。熱伝導方程式や波動方程式を解く道具（変数分離のあとで初期条件を合わせる）として出てくることが多いです。
• 答案で示すべきこと：偶関数・奇関数かを最初に言って、$a_n$ か $b_n$ を $0$ とする理由を書きます。級数の値を求めるときは、代入する点で級数が $f(x)$ に収束すること（連続な点か、とびの点なら左右の平均）を一言そえます。
• よくある出題の形：①係数の計算（部分積分）②特別な点の代入で $\sum\dfrac1{n^2}$ などを求める ③パーセバルの等式で $\sum\dfrac1{n^4}$ などを求める ④偏微分方程式の解を級数で表す。
• 複素形：$e^{inx}$ を使って $f(x)\sim\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx}$、$c_n=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx$ と書くこともあります（オイラーの公式で行き来できます）。

よくある間違い

合格先生

定数項は $a_0$ ではなく $\dfrac{a_0}{2}$ だ。そのまま足すと平均の2倍になってしまうぞ。

• 定数項を $a_0$ と書く：定数項は $\dfrac{a_0}{2}$ です。$a_0=\dfrac1\pi\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f\,dx$ なので、そのまま足すと平均の2倍になってしまいます。
• とびの点でも $f(x)$ に収束すると思う：とびの点では左右の値の平均に収束します。矩形波に $x=0$ を代入しても $1$ にはなりません。
• 周期 $2L$ なのに $\cos nx$ のまま計算する：周期が $2\pi$ でないときは $\cos\dfrac{n\pi x}{L}$、$\sin\dfrac{n\pi x}{L}$ と係数の $\dfrac1L$ にかえます。

練習問題

サクラちゃん

偶関数か奇関数か、まず見分けよう！

1. 大学院入試 $-\pi\le x\le\pi$ で $f(x)=|x|$ とし、周期 $2\pi$ で延長した関数のフーリエ級数を求めなさい。
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   偶関数なので $b_n=0$。$a_0=\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^{\pi}x\,dx=\pi$。$a_n=\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^{\pi}x\cos nx\,dx=\dfrac{2(\cos n\pi-1)}{\pi n^2}$ で、奇数の $n$ では $-\dfrac{4}{\pi n^2}$、偶数では $0$。答え $|x|=\dfrac\pi2-\dfrac4\pi\left(\cos x+\dfrac{\cos3x}{3^2}+\dfrac{\cos5x}{5^2}+\cdots\right)$
2. 大学院入試 例題2の $x^2$ のフーリエ級数に $x=0$ を代入して、$1-\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}-\dfrac1{4^2}+\cdots$ の値を求めなさい。
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   $0=\dfrac{\pi^2}{3}+4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^2}$ より $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{12}$
3. 大学院入試 $-1<x<1$ で $f(x)=x$ とし、周期 $2$ で延長した関数のフーリエ級数を求めなさい。
   答えと解説を見る

   周期 $2L$ で $L=1$。奇関数なので $a_n=0$、$b_n=\displaystyle\int_{-1}^{1}x\sin n\pi x\,dx=2\int_0^1x\sin n\pi x\,dx=-\dfrac{2\cos n\pi}{n\pi}=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}$。答え $x\sim\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin n\pi x$

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よくある質問

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