ラプラス変換の公式｜変換表・微分の公式の証明・微分方程式の解き方と例題【大学院入試・応用数学】

ラプラス変換の定義と公式

$t\ge0$ で定義された関数 $f(t)$ に $e^{-st}$ をかけて $0$ から $\infty$ まで積分し、$s$ の関数 $F(s)$ に変えるのがラプラス変換です。微分が $s$ のかけ算に変わるので、微分方程式が代数の方程式になります。

$s$ が大きいほど $e^{-st}$ は速く $0$ に近づくので、積分（面積）は小さくなります。$F(s)$ が存在するには、$f(t)$ が $e^{ct}$ 程度より速く増えない（指数位数）ことが必要で、$s>c$ の範囲で考えます。

なぜこの公式になるのか（証明）

① 指数関数と $t^n$

$s>a$ のとき $\mathcal{L}[e^{at}]=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-(s-a)t}dt=\left[-\frac{e^{-(s-a)t}}{s-a}\right]_0^{\infty}=\frac1{s-a}$。$a=0$ とすれば $\mathcal{L}[1]=\dfrac1s$ です。

$t^n$ は部分積分で、$t^ne^{-st}\to0\ (t\to\infty)$ を使うと

$$\mathcal{L}[t^n]=\left[-\frac{t^ne^{-st}}{s}\right]_0^{\infty}+\frac ns\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-st}dt=\frac ns\mathcal{L}[t^{n-1}]$$

これをくり返して $\mathcal{L}[t^n]=\dfrac ns\cdot\dfrac{n-1}{s}\cdots\dfrac1s\cdot\dfrac1s=\dfrac{n!}{s^{n+1}}$。

② 微分の公式（いちばん大事）

部分積分で、$e^{-st}f(t)\to0\ (t\to\infty)$ とすると

$$\mathcal{L}[f']=\int_0^{\infty}e^{-st}f'(t)\,dt=\Big[e^{-st}f(t)\Big]_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt=sF(s)-f(0)$$

$f'$ にもう1回使うと $\mathcal{L}[f'']=s\,\mathcal{L}[f']-f'(0)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$。初期値 $f(0),\ f'(0)$ が式に自然に入るのが、ラプラス変換で初期値問題を解くときの強みです。

③ sin と cos は微分の公式から

$f(t)=\sin\omega t$ とすると $f''=-\omega^2f$、$f(0)=0$、$f'(0)=\omega$。両辺を変換して $s^2F-\omega=-\omega^2F$ より $F=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$。$\cos\omega t=\dfrac1\omega(\sin\omega t)'$ なので $\mathcal{L}[\cos\omega t]=\dfrac1\omega\left(s\cdot\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}-0\right)=\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$。

④ 移動法則

$\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-(s-a)t}f(t)\,dt=F(s-a)$。定義に入れるだけです。

大学院入試では

院試では「初期値つきの線形微分方程式をラプラス変換で解け」という形が定番です。逆変換は、部分分数に分けて表を逆に読みます（逆変換が1つに決まることは大学の授業で学ぶ定理で、ここでは使ってよいものとします）。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：工学部の「応用数学」「制御工学」「回路理論」などで学びます。制御工学の伝達関数や、電気回路の過渡現象の計算は、ラプラス変換が土台です。
• 答案で示すべきこと：①変換した式（初期値を入れたところ）②部分分数分解 ③表のどれを使ったか（移動法則を使ったなら明記）④最後に初期条件で検算。
• よくある出題の形：変換表の一部を定義から導く／初期値問題を解く／連立微分方程式を解く／たたみこみ $\displaystyle\int_0^tf(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$ の変換が $F(s)G(s)$ になることを使う。
• ほかの解き方との関係：同じ方程式は特性方程式でも解けます。ラプラス変換の分母 $s^2+3s+2$ は特性方程式の左辺と同じ形です。

よくある間違い

• 初期値の項を落とす：$\mathcal{L}[y'']=s^2Y$ だけでは誤り。$-sy(0)-y'(0)$ を忘れずに入れます。
• 移動法則の向きを逆にする：$e^{at}f(t)$ の変換は $F(s-a)$ です。$e^{-t}$ なら $s$ を $s+1$ にずらします。
• $\sin$ と $\cos$ の分子を取り違える：分子が $\omega$（定数）なら $\sin\omega t$、分子が $s$ なら $\cos\omega t$。分子を $s$ のかたまりと定数に分けてから逆変換します。

練習問題

1. 大学院入試 $\mathcal{L}[3t^2-2e^{-t}]$ を求めなさい。
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   線形性と表より $3\cdot\dfrac{2!}{s^3}-2\cdot\dfrac{1}{s+1}$。答え $\dfrac{6}{s^3}-\dfrac{2}{s+1}$
2. 大学院入試 $y^{\prime\prime}+y=1$、$y(0)=0$、$y^{\prime}(0)=0$ をラプラス変換を用いて解きなさい。
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   $s^2Y+Y=\dfrac1s$ より $Y=\dfrac{1}{s(s^2+1)}=\dfrac1s-\dfrac{s}{s^2+1}$。答え $y=1-\cos t$（検算：$y^{\prime\prime}=\cos t$ で $y^{\prime\prime}+y=1$）
3. 大学院入試 $F(s)=\dfrac{1}{(s-1)^3}$ の逆ラプラス変換を求めなさい。
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   $\mathcal{L}[t^2]=\dfrac{2}{s^3}$ より $\dfrac{1}{s^3}$ は $\dfrac{t^2}{2}$。$s$ を $s-1$ にずらすのは $e^{t}$ をかけること。答え $\dfrac{t^2e^{t}}{2}$

関連する公式

• 2階定数係数線形微分方程式
• 1階線形微分方程式
• フーリエ級数
• ガンマ関数・ベータ関数（$\mathcal{L}[t^n]$ との関係）
• 置換積分・部分積分
• 恒等式（部分分数の係数を決める）

よくある質問

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