2階定数係数線形微分方程式の解の公式｜特性方程式の3つの場合の証明・未定係数法の例題【大学院入試・微分方程式】

2階定数係数線形微分方程式の解の公式

$y''+ay'+by=0$（$a,\ b$ は定数）の形の微分方程式は、$y=e^{\lambda x}$ を入れてできる2次方程式（特性方程式）の解で、一般解がすべて書けます。ばねの振動や電気回路（RLC回路）を表す、もっとも大事な微分方程式です。

証明

① 2つの1階の方程式に分ける

特性方程式の解を $\lambda_1,\ \lambda_2$ とすると、解と係数の関係より $a=-(\lambda_1+\lambda_2)$、$b=\lambda_1\lambda_2$。そこで $z=y'-\lambda_2y$ とおくと

$$z'-\lambda_1z=y''-(\lambda_1+\lambda_2)y'+\lambda_1\lambda_2y=y''+ay'+by=0$$

よって $z'=\lambda_1z$ で、$z=Ae^{\lambda_1x}$（1階線形微分方程式）。

② もう一度1階の方程式を解く

$y'-\lambda_2y=Ae^{\lambda_1x}$ に積分因子 $e^{-\lambda_2x}$ をかけると $(e^{-\lambda_2x}y)'=Ae^{(\lambda_1-\lambda_2)x}$。

• $\lambda_1\ne\lambda_2$ なら、積分して $e^{-\lambda_2x}y=\dfrac{A}{\lambda_1-\lambda_2}e^{(\lambda_1-\lambda_2)x}+C_2$、つまり $y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$。
• $\lambda_1=\lambda_2=\lambda$ なら、右辺は定数 $A$ なので $e^{-\lambda x}y=Ax+C_1$、つまり $y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}$。

この計算はすべての解を求めているので、解はこれで全部です（任意の定数は2つ）。

③ 虚数解のときは実数の形に直す

$\lambda=\alpha\pm\beta i$ のとき、①の式は複素数のまま成り立ちます。オイラーの公式 $e^{(\alpha+\beta i)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x)$ を使い、$C_1,\ C_2$ をまとめなおすと $y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。実際に入れて確かめることもできます。

④ 非同次方程式

$y_p$ を特殊解とすると、どんな解 $y$ も差 $y-y_p$ は同次方程式をみたします（左辺が1次式だから）。よって一般解＝同次の一般解＋$y_p$ です。

大学院入試では

院試では、特性方程式から一般解を書き、初期条件で $C_1,\ C_2$ を決める問題と、非同次方程式の特殊解（未定係数法）を求める問題がよく出ます。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：大学1〜2年の「微分方程式」、物理の力学（ばねの振動・減衰振動・強制振動）、電気回路で習います。図1の3つの型は、物理では過減衰・臨界減衰・減衰振動とよばれます。
• 答案で示すこと：①特性方程式とその解、②一般解の形（どの型か）、③非同次なら特殊解の求め方（おき方の理由）、④初期条件から $C_1,\ C_2$ を決める連立方程式。
• よく出る形：右辺が多項式・$e^{kx}$・$\sin kx$・$\cos kx$ の未定係数法、$k$ が特性方程式の解と重なる「共鳴」の場合（$x$ をかける）、連立1階方程式を行列の固有値で解く問題、ラプラス変換で初期値問題を解く問題。

よくある間違い

• 重解で $C_1e^{\lambda x}+C_2e^{\lambda x}$ と書く：これは $(C_1+C_2)e^{\lambda x}$ で、任意の定数が実質1つしかありません。重解では $x$ をかけた $xe^{\lambda x}$ が必要です。
• 共鳴を見落とす：右辺の $e^{kx}$ の $k$ が特性方程式の解なら、$Ae^{kx}$ ではなく $Axe^{kx}$（重解なら $Ax^2e^{kx}$）とおきます。
• 初期条件を先に入れる：特殊解を足す前の同次の一般解に初期条件を入れるのは誤り。一般解＝同次＋特殊解をそろえてから $C_1,\ C_2$ を決めます。

練習問題

1. 大学院入試 $y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0,\ y(0)=1,\ y^{\prime}(0)=1$ を解きなさい。
   答えと解説を見る

   $\lambda=-1$（重解）で $y=(C_1+C_2x)e^{-x}$。$y(0)=C_1=1$、$y^{\prime}(0)=C_2-C_1=1$ より $C_2=2$。答え $y=(1+2x)e^{-x}$
2. 大学院入試 $y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+5y=0$ の一般解を求めなさい。
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   $\lambda^2+2\lambda+5=0$ より $\lambda=-1\pm2i$。答え $y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$
3. 大学院入試 $y^{\prime\prime}+y=x^2$ の一般解を求めなさい。
   答えと解説を見る

   同次は $\lambda=\pm i$ で $C_1\cos x+C_2\sin x$。$y_p=Ax^2+Bx+C$ とおくと $2A+Ax^2+Bx+C=x^2$ より $A=1,\ B=0,\ C=-2$。答え $y=C_1\cos x+C_2\sin x+x^2-2$

関連する公式

• 1階線形微分方程式（証明で使う）
• オイラーの公式（虚数解を三角関数に）
• 解と係数の関係
• 複素数と2次方程式
• ラプラス変換
• 固有値と固有ベクトル

よくある質問

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