1階線形微分方程式の解の公式｜積分因子・変数分離の証明と初期値問題の例題【大学院入試・微分方程式】

1階線形微分方程式の解の公式

未知の関数 $y(x)$ とその導関数 $y'$ をふくむ等式を微分方程式といいます。$y'$ と $y$ について1次の式になっているものが1階線形微分方程式です。

証明

① 積分因子で積の微分にまとめる

$\mu=e^{\int P\,dx}$ とおくと、合成関数の微分で $\mu'=P\mu$。方程式の両辺に $\mu$ をかけると

$$\mu y'+P\mu y=\mu y'+\mu'y=(\mu y)'$$

なので $(\mu y)'=\mu Q$。両辺を積分して $\mu y=\displaystyle\int\mu Q\,dx+C$、$\mu$ で割ると公式になります。

② 解はこれで全部

$y_1,\ y_2$ がどちらも解なら、差 $z=y_1-y_2$ は $z'+Pz=0$ をみたします。$(\mu z)'=\mu(z'+Pz)=0$ なので $\mu z=C$、$z=Ce^{-\int P\,dx}$。つまり一般解＝特殊解＋$Ce^{-\int P\,dx}$ で、ほかに解はありません。初期条件 $y(x_0)=y_0$ を1つ与えると $C$ がただ1つに決まります。

③ 変数分離形

$G(y)=\displaystyle\int\frac{dy}{g(y)}$、$F(x)=\displaystyle\int f\,dx$ とすると、$g(y)\ne0$ のところで $\dfrac{d}{dx}G(y)=\dfrac{y'}{g(y)}=f(x)=F'(x)$。よって $G(y)=F(x)+C$ です。置換積分を逆に使っていることになります。

大学院入試では

院試では、方程式の形を見て「変数分離か、線形か、置換で線形になるか」を見分け、初期条件まで使って解を決めます。

学部の授業とのつながり・院試での注意

• どの授業で習うか：大学1〜2年の「微分方程式」（常微分方程式）や、物理・化学・工学の授業で習います。放射性崩壊や冷却（$T'=-k(T-T_0)$）、電気回路（RC回路）などがこの形です。
• 答案で示すこと：①どの型か（変数分離・線形）、②積分因子 $\mu$ と $(\mu y)'=\mu Q$ の式、③一般解、④初期条件で $C$ を決めた結果。変数分離では、$g(y)=0$ で割ったことに注意し、定数解を確かめます。
• よく出る形：ベルヌーイ型 $y'+Py=Qy^n$（$z=y^{1-n}$ とおくと線形になる）、同次形 $y'=f\!\left(\frac yx\right)$（$u=\frac yx$ で変数分離）、ロジスティック方程式。
• 2階の場合は2階定数係数線形微分方程式へ。ラプラス変換で解く方法もあります。

よくある間違い

• 定数解を落とす：$y'=2xy$ で $y$ で割ると、$y=0$ という解が抜けます。割る前に確かめましょう。
• 積分定数の位置をまちがえる：$y=e^{-\int P\,dx}\displaystyle\int Qe^{\int P\,dx}dx+C$ は誤り。$C$ にも $e^{-\int P\,dx}$ がかかります。
• $\log|y|$ の絶対値を忘れる：$\displaystyle\int\frac{dy}{y}=\log|y|$。外すときは $y=\pm e^c e^{x^2}$ として、符号を定数 $A$ にまとめます。

練習問題

1. 大学院入試 $y^{\prime}=y^2,\ y(0)=1$ を解きなさい。
   答えと解説を見る

   $y\ne0$ で $\dfrac{dy}{y^2}=dx$、$-\dfrac1y=x+C$。$y(0)=1$ より $C=-1$。答え $y=\dfrac1{1-x}$（$x<1$ の範囲の解）
2. 大学院入試 $y^{\prime}-y=e^{2x},\ y(0)=0$ を解きなさい。
   答えと解説を見る

   $\mu=e^{-x}$、$(e^{-x}y)^{\prime}=e^x$、$e^{-x}y=e^x+C$、$y=e^{2x}+Ce^x$。$y(0)=1+C=0$ より $C=-1$。答え $y=e^{2x}-e^x$
3. 大学院入試 $y^{\prime}+2xy=x$ の一般解を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\mu=e^{x^2}$、$(e^{x^2}y)^{\prime}=xe^{x^2}$、積分して $e^{x^2}y=\dfrac12e^{x^2}+C$。答え $y=\dfrac12+Ce^{-x^2}$

関連する公式

• 2階定数係数線形微分方程式
• 置換積分・部分積分
• 積・商・合成関数の微分（積分因子のしくみ）
• ラプラス変換
• 指数法則と対数の公式
• 積分の公式

よくある質問

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