置換積分・部分積分の公式｜合成関数の微分・積の微分からの証明と図解・例題【数学Ⅲ・大学受験】

置換積分・部分積分の公式

$\displaystyle\int x^n\,dx$ のような基本の積分だけでは、$\displaystyle\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ や $\displaystyle\int xe^x\,dx$ は計算できません。そこで使うのが置換積分と部分積分です。置換積分は合成関数の微分の逆、部分積分は積の微分の逆です。

形式的には「$u=g(x)$ とおいて $\dfrac{du}{dx}=g'(x)$、つまり $du=g'(x)\,dx$ と書きかえる」と覚えると便利です。

証明（なぜ成り立つか）

置換積分の証明（合成関数の微分から）

$f(u)$ の不定積分の1つを $F(u)$ とします（$F'(u)=f(u)$）。合成関数の微分より、

$$\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))\,g'(x)=f(g(x))\,g'(x)$$

つまり $F(g(x))$ は $f(g(x))g'(x)$ の不定積分です。よって

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C=\Big(\int f(u)\,du\ \text{で}\ u=g(x)\ \text{としたもの}\Big)$$

定積分なら $\displaystyle\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du$。はし（積分区間）も $u$ の値に変わるのはこのためです。

部分積分の証明（積の微分から）

積の微分 $\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ の両辺を積分すると、

$$f(x)g(x)=\int f'(x)g(x)\,dx+\int f(x)g'(x)\,dx$$

移項すれば $\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx$。定積分でも同じです。

部分積分は「積分しやすいほうを $g'$、微分すると簡単になるほうを $f$」に選ぶのがコツです。$x$ や $\log x$ は微分すると簡単になるので $f$ 側にします。

大学受験（数学Ⅲ）での使い方

よくある間違い

• 定積分の置換で、はしを変え忘れる：$u=x^2$ なら $x:0\to2$ は $u:0\to4$。$x$ のはしのまま計算しない。
• $dx$ を $du$ に書きかえ忘れる：$du=g'(x)\,dx$ の関係を使わずに、$x$ を $u$ に変えただけで積分しない。
• 部分積分で $f$ と $g'$ を逆に選ぶ：$\displaystyle\int xe^x\,dx$ で $f=e^x$ とすると $\dfrac{x^2}{2}$ が出てきて、かえって複雑になる。

練習問題

1. 大学受験 $\displaystyle\int \sin^3x\cos x\,dx$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $u=\sin x$ とおくと $du=\cos x\,dx$。$\displaystyle\int u^3\,du=\frac{\sin^4x}{4}+C$
2. 大学受験 $\displaystyle\int_0^1\frac{x}{x^2+1}\,dx$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $u=x^2+1$（$du=2x\,dx$、$u:1\to2$）。$\displaystyle\frac12\int_1^2\frac{du}{u}=\frac12\Big[\log u\Big]_1^2=\frac12\log2$
3. 大学受験 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cos x\,dx$ を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $f=x$、$g=\sin x$。$\displaystyle\Big[x\sin x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx=\frac{\pi}{2}-1$

関連する公式

• 積の微分・商の微分・合成関数の微分（この公式のもと）
• 積分の公式（微分積分学の基本定理）
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よくある質問

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