回転体の体積の公式 V=π∫y²dx｜円板を重ねる証明・円錐と球の体積の確かめ・例題【数学Ⅲ・大学受験】

うかるくん

回転体の体積の式、なんで $y$ が2乗になって $\pi$ がつくの？

合格先生

切り口が半径 $|f(x)|$ の円だからだ。その面積 $\pi y^2$ を積分すれば体積になるぞ。

回転体の体積の公式

グラフで囲まれた部分を、ある直線（軸）のまわりに1回転させてできる立体を回転体といいます。円錐・円柱・球も回転体です。体積は、軸に垂直に切った切り口（円）の面積を積分して求めます。

証明（円板を重ねる）

立体を、$x$ 軸に垂直な平面で切ります。$x$ のところの切り口は、中心が $x$ 軸上・半径 $|f(x)|$ の円なので、切り口の面積は

$a$ から $x$ までの部分の体積を $V(x)$ とします。$x$ を $\Delta x$ だけふやすと、ふえる体積は厚さ $\Delta x$ のうすい円板で、区間の中での $S$ の最小値を $m$、最大値を $M$ とすると

$\Delta x$ で割って $\Delta x\to0$ とすると、$m,\ M$ はどちらも $S(x)$ に近づくので $V'(x)=S(x)$。$V(a)=0$ だから、

これは微分積分学の基本定理（面積の関数を微分すると $f(x)$）と同じ考え方で、「体積＝切り口の面積の積分」という一般の公式 $V=\displaystyle\int_a^bS(x)\,dx$ の特別な場合です。

円錐と球で確かめる

円錐：$y=\dfrac rhx$（$0\le x\le h$）を回すと、底面の半径 $r$・高さ $h$ の円錐。

球：$y=\sqrt{r^2-x^2}$（$-r\le x\le r$）を回すと、半径 $r$ の球。

中学で習った錐体の体積の「$\dfrac13$」と、球の体積 $\dfrac43\pi r^3$ が、どちらも積分で示せました。

大学受験（数学Ⅲ）での使い方

よくある間違い

合格先生

穴のあいた立体で $\pi\int(f-g)^2dx$ は×だ。外の円から内の円を引いて $f^2-g^2$ だぞ。

• $\pi$ や2乗を忘れる：$\displaystyle\int_a^b y\,dx$ は面積。体積は $\pi\displaystyle\int_a^b y^2\,dx$。
• 穴のあいた立体で $\pi\displaystyle\int(f-g)^2dx$ とする：正しくは $\pi\displaystyle\int(f^2-g^2)\,dx$（外側の円から内側の円を引く）。
• $y$ 軸のまわりなのに $x$ で積分する：$x^2$ を $y$ の式で表して、$dy$ で積分する。

練習問題

うかるくん

円錐の $\dfrac13$ も、この公式で出せるんだ！

1. 大学受験 曲線 $y=x^2$（$0\le x\le1$）と $x$ 軸、直線 $x=1$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転させた体積は？
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   $\pi\displaystyle\int_0^1x^4\,dx=\frac{\pi}{5}$
2. 大学受験 曲線 $y=\sin x$（$0\le x\le\pi$）と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転させた体積は？
   答えと解説を見る

   $\pi\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2x\,dx=\pi\int_0^{\pi}\frac{1-\cos2x}{2}\,dx=\pi\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{2}$
3. 大学受験 底面の半径 $3$、高さ $4$ の円錐の体積を、回転体の公式で求めなさい。
   答えと解説を見る

   $y=\dfrac34x$（$0\le x\le4$）を回す。$\pi\displaystyle\int_0^4\frac{9}{16}x^2\,dx=\frac{9\pi}{16}\cdot\frac{64}{3}=12\pi$（$\dfrac13\pi\cdot9\cdot4=12\pi$ と一致）

関連する公式

• 積分の公式（微分積分学の基本定理）
• 定積分と面積
• 球の体積と表面積
• 錐体（円錐・角錐）の体積
• 置換積分・部分積分（体積の積分の計算に使う）
• パップス・ギュルダンの定理

よくある質問

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