パップス・ギュルダンの定理の公式｜回転体の体積 V=2πrS の証明・トーラス・重心の求め方【大学数学・東大京大レベル】

パップス・ギュルダンの定理の公式｜回転体の体積 V=2πrS の証明・トーラス・重心の求め方【大学数学・東大京大レベル】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 図形

大学受験

V=2πr×SV=2\pi r\times S

SS：図形の面積、rr：図形の重心と回転の軸の距離（軸は図形を横切らない）

この公式のポイント

  • 体積＝重心が動く道のり 2πr2\pi r × 面積 SS
  • rr は図形の重心と軸の距離
  • 証明は回転体の積分＋重心の定義
  • 答案は積分が基本、定理は検算に使う
うかるくん

うかるくん

回転体の体積が、重心だけでわかるのはなぜ？

合格先生

合格先生

回転体の積分の式を変形すると、重心の高さ×面積の形が出てくる。だから重心の道のり 2πr2\pi r に面積をかければいいんだ。

パップス・ギュルダンの定理

平面図形を、その図形と交わらない（同じ平面上の）直線のまわりに1回転させると、回転体ができます。その体積は、図形の重心が1周する道のり × 図形の面積で求められます。

回転体の体積（パップス・ギュルダンの定理）

面積 SS の図形を、図形と交わらない軸のまわりに1回転させる。図形の重心と軸の距離を rr とすると

V=2πr×SV=2\pi r\times S

側面積の形：長さ LL の曲線を回転させてできる曲面の面積は、曲線の重心と軸の距離を rr として 2πr×L2\pi r\times L。

回転の軸GSrG の通る円（長さ 2πr）V＝2πr × S体積＝（重心が動く道のり）×（図形の面積）
重心 G が軸のまわりに1周する道のりは 2πr2\pi r。体積はそれに面積 SS をかけたもの

図形の重心とは、その図形（うすい板）が1点で支えてつり合う点です。三角形なら3つの中線の交点（3頂点の座標の平均）、円や長方形なら中心です。

証明（x 軸のまわりの回転の場合）

図形を a≤x≤ba\le x\le b、g(x)≤y≤f(x)g(x)\le y\le f(x)（0≤g(x)≤f(x)0\le g(x)\le f(x)）の部分とし、xx 軸のまわりに回転させます。数学Ⅲの回転体の体積の公式より

V=π∫ab{f(x)2−g(x)2}dxV=\pi\int_a^b\left\{f(x)^2-g(x)^2\right\}dx

一方、図形の重心の yy 座標 yˉ\bar y は、図形を幅 dxdx のたての細長い長方形に分けて考えます。細長い長方形の面積は {f(x)−g(x)}dx\{f(x)-g(x)\}dx、その重心の高さは f(x)+g(x)2\dfrac{f(x)+g(x)}{2} です。重心は「(面積)×(高さ)の和 ÷ 全体の面積」なので

yˉ=1S∫ab{f(x)−g(x)}⋅f(x)+g(x)2 dx=12S∫ab{f(x)2−g(x)2}dx\bar y=\frac1S\int_a^b\{f(x)-g(x)\}\cdot\frac{f(x)+g(x)}{2}\,dx=\frac1{2S}\int_a^b\left\{f(x)^2-g(x)^2\right\}dx

よって ∫ab{f(x)2−g(x)2}dx=2Syˉ\displaystyle\int_a^b\{f(x)^2-g(x)^2\}dx=2S\bar y となり、

V=π⋅2Syˉ=2πyˉ×SV=\pi\cdot2S\bar y=2\pi\bar y\times S

重心と軸の距離 r=yˉr=\bar y なので、V=2πr×SV=2\pi r\times S が示せました。（重心の yy 座標を「1S×\dfrac1S\times(面積×高さの和)」で表すのは大学で学ぶ重心の定義です。この形の図形以外でも、細かく分けて同じように考えれば成り立ちます。）

y 軸（回転の軸）G(8/3, 1)24(2, 3)r＝8/3S＝½·2·3＝3V＝2π·(8/3)·3＝16π
例題2：三角形 (2, 0)、(4, 0)、(2, 3) を y 軸のまわりに回転。重心 (83, 1)\left(\frac83,\ 1\right)、面積3で、体積は 16π16\pi

大学受験での使い方

大学受験

例題1（トーラスの体積）

半径1の円を、円の中心からの距離が3の直線（円と同じ平面上）のまわりに1回転させてできる立体（ドーナツ形、トーラス）の体積を求めなさい。

解き方

円の重心は中心なので r=3r=3。面積 S=π⋅12=πS=\pi\cdot1^2=\pi。

V=2π⋅3⋅π=6π2V=2\pi\cdot3\cdot\pi=6\pi^2。

検算（積分）：円を (x−3)2+y2=1(x-3)^2+y^2=1、軸を yy 軸とすると、高さ yy の断面は外側の半径 3+1−y23+\sqrt{1-y^2}、内側 3−1−y23-\sqrt{1-y^2} のドーナツ形の板なので

V=π∫−11121−y2 dy=12π⋅π2=6π2V=\pi\displaystyle\int_{-1}^{1}12\sqrt{1-y^2}\,dy=12\pi\cdot\dfrac{\pi}{2}=6\pi^2。

答え　6π26\pi^2

大学受験

例題2（三角形を回転）

3点 (2, 0)、(4, 0)、(2, 3) を頂点とする三角形を、yy 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

解き方

面積 S=12⋅2⋅3=3S=\dfrac12\cdot2\cdot3=3。重心の xx 座標は 2+4+23=83\dfrac{2+4+2}{3}=\dfrac83 なので r=83r=\dfrac83。

V=2π⋅83⋅3=16πV=2\pi\cdot\dfrac83\cdot3=16\pi。

検算（積分）：高さ yy での断面は、内側の半径2、外側の半径 4−23y4-\dfrac23y の輪なので

V=π∫03{(4−23y)2−4}dy=π[12y−83y2+427y3]03=π(36−24+4)=16πV=\pi\displaystyle\int_0^3\left\{\left(4-\dfrac23y\right)^2-4\right\}dy=\pi\left[12y-\dfrac83y^2+\dfrac4{27}y^3\right]_0^3=\pi(36-24+4)=16\pi。

答え　16π16\pi

大学受験

例題3（重心を求めるのに使う）

半径 aa の半円板の重心は、直径から何の距離にありますか。半円板を直径のまわりに回転させると球になることを使って求めなさい。

解き方

半円板を直径のまわりに1回転させると半径 aa の球になります。重心と直径の距離を rr とすると

43πa3=2πr⋅12πa2\dfrac43\pi a^3=2\pi r\cdot\dfrac12\pi a^2。

r=4a33πa2=4a3πr=\dfrac{4a^3}{3\pi a^2}=\dfrac{4a}{3\pi}。

答え　4a3π\dfrac{4a}{3\pi}

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

教科書での位置：回転体の体積は数学Ⅲの積分で習いますが、パップス・ギュルダンの定理は高校の教科書の範囲外です。そもそも「平面図形の重心」を積分で定義することが、高校では扱われません。4世紀ごろのギリシャの数学者パップスと、17世紀のギュルダンの名前がついています。

入試での使い方：

  • 記述式の答案では、積分で体積を求めるのが基本です。この定理だけで答えを出すと、根拠が不十分とされるおそれがあります。
  • いちばん役に立つのは検算です。トーラスのように積分が重くなる回転体で、答えが合っているかすぐ確かめられます。
  • マーク式・答えだけの問題なら、結果の見当づけに使えます。難関大の入試では、ドーナツ形の回転体など、この定理が背景になっている問題があります。

使える条件：軸が図形を横切らないこと（図形が軸の片側だけにあること）。軸が図形を横切ると、軸の両側の部分が重なって回転するので、そのままでは使えません。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

rr は図形の重心と軸の距離だ。頂点や図形のはしとの距離にしてはいけないぞ。

  • rr を図形の中心や頂点との距離にする：rr は図形の重心と軸の距離です。三角形なら3頂点の座標の平均の点。
  • 2πr2\pi r でなく πr2\pi r^2 をかける：重心は円を1周するので、かけるのは円周 2πr2\pi r。
  • 軸が図形を横切るのに使う：図形が軸の両側にあるときは、そのままでは使えません。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

まず重心の位置と面積を出せばいいんだね！

  1. 大学受験 1辺2の正方形を、正方形と同じ平面上で、1辺に平行で正方形の中心から距離5の直線のまわりに1回転させた立体の体積は？
    答えと解説を見るV=2π⋅5⋅4=40πV=2\pi\cdot5\cdot4=40\pi（検算：内側の半径4、外側の半径6、高さ2の筒で π(36−16)⋅2=40π\pi(36-16)\cdot2=40\pi）
  2. 大学受験 円 (x−4)2+y2=4(x-4)^2+y^2=4 の内部を、yy 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は？
    答えと解説を見る重心 (4, 0) で r=4r=4、面積 4π4\pi。V=2π⋅4⋅4π=32π2V=2\pi\cdot4\cdot4\pi=32\pi^2
  3. 大学受験 3点 (0, 0)、(a, 0)(a,\ 0)、(0, h)(0,\ h) を頂点とする直角三角形を yy 軸のまわりに回転させてできる円錐の体積を、この定理で求めなさい。
    答えと解説を見る重心の xx 座標は a3\dfrac a3、面積 12ah\dfrac12ah。V=2π⋅a3⋅12ah=13πa2hV=2\pi\cdot\dfrac a3\cdot\dfrac12ah=\dfrac13\pi a^2h（円錐の体積の公式と一致）

関連する公式

よくある質問

パップス・ギュルダンの定理とは？

平面図形を、図形と交わらない軸のまわりに1回転させてできる立体の体積が、重心が1周する道のり2πrと図形の面積Sの積 V=2πrS になるという定理です。

トーラス（ドーナツ形）の体積は？

半径aの円を、中心からの距離がRの軸のまわりに回転させると、V=2πR×πa²=2π²Ra² です。

パップス・ギュルダンの定理は入試の答案で使えますか？

高校の範囲外なので、記述式では積分で求めるのが基本です。答えの検算や見当づけに使うと便利です。

軸が図形を横切るときも使えますか？

そのままでは使えません。図形が軸の片側だけにあるときの定理です。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅲ（積分法）
  • 大学初年級の微分積分学（範囲外の発展内容）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦