円錐・角錐の体積はなぜ1/3？｜錐体の体積の公式 V=⅓Sh の証明と円錐の表面積 πr²+πrℓ、例題【中学受験〜大学受験】

うかるくん

錐体の体積って、どうして柱体の $\dfrac13$ なの？

合格先生

立方体は、合同な四角錐3つにぴったり分けられる。だから1つ分は底面積×高さ÷3なんだ。

錐体の体積と表面積の公式

円錐や角錐のように、底面から1つの頂点に向かってとがった立体を錐体といいます。

なぜ 1/3 になるのか

考え方1：立方体を3つの合同な四角錐に分ける

1辺 $a$ の立方体の、ある頂点を共通の頂点にして、その頂点をふくまない3つの面をそれぞれ底面にすると、底面積 $a^2$、高さ $a$ の四角錐が3つ、すき間なくぴったりできます（3つは合同）。立方体の体積 $a^3$ を3等分しているので、1つは $\dfrac13a^3=\dfrac13\times a^2\times a$。「底面積×高さ÷3」です。

考え方2：積分で（数学Ⅲ）

頂点から距離 $x$ のところで底面に平行に切ると、切り口は底面と相似で、相似比は $x:h$。面積は $S\left(\dfrac{x}{h}\right)^2$ です。これを $0$ から $h$ まで積分すると、

底面がどんな形でも、切り口の面積が $x^2$ に比例するので必ず $\dfrac13$ が出てきます。これが「どの錐体でも $\dfrac13$」の本当の理由です。

円錐の側面積が πrℓ になる理由

円錐の側面を開くと、半径 $\ell$（母線）、弧の長さ $2\pi r$（底面の円周）のおうぎ形になります。おうぎ形の面積 $\dfrac12\times\text{弧}\times\text{半径}$ に入れると $\dfrac12\times2\pi r\times\ell=\pi r\ell$。

中学受験（算数）での使い方

小学校では角柱・円柱の体積を学び、錐体の $\dfrac13$ は中学1年の内容ですが、中学受験ではよく出ます。「柱の $\dfrac13$」と覚え、円錐の側面積は「母線×半径×3.14」を使います。

高校受験（中学1年〜3年）での使い方

中学1年で錐体の体積・表面積を学び、中学3年では三平方の定理で高さや母線を求めて組み合わせます。

大学受験での使い方

空間図形・ベクトルでは、四面体の体積を「底面の三角形の面積×高さ÷3」で求める問題が定番です。数学Ⅲでは、上の積分の考え方で回転体や錐体の体積を求めます。

よくある間違い

合格先生

高さと母線を取りちがえやすい。体積は垂直な高さ、側面積は母線を使うんだぞ。

• ÷3 を忘れる：錐体は柱体の $\dfrac13$。
• 高さと母線を取りちがえる：体積に使うのは垂直な高さ。表面積（側面）に使うのは母線。
• 表面積で底面を忘れる：側面積だけでなく、底面も足す。

練習問題

合格先生

÷3を忘れないように、最後に確かめよう。

1. 中学受験 底面が1辺 $6$ cm の正方形、高さ $5$ cm の四角錐の体積を求めなさい。
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   $6\times6\times5\div3=60$。答え $60\text{ cm}^3$
2. 高校受験 底面の半径 $4$ cm、母線 $9$ cm の円錐の側面積を求めなさい。
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   $\pi\times4\times9=36\pi$。答え $36\pi\text{ cm}^2$
3. 高校受験 底面の半径 $6$ cm、高さ $8$ cm の円錐の表面積を求めなさい。
   答えと解説を見る

   母線は $\sqrt{36+64}=10$。$36\pi+\pi\times6\times10=96\pi$。答え $96\pi\text{ cm}^2$

関連する公式

• 球の体積と表面積（円錐：球：円柱＝1：2：3）
• おうぎ形の面積と弧の長さ（円錐の展開図）
• 三平方の定理
• 相似比と面積比・体積比
• オイラーの多面体定理
• 立体の切断
• 回転体の体積
• 立体の表面積
• 円すいの展開図

よくある質問

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