解と係数の関係｜α+β=−b/a・αβ=c/a の証明（因数分解・解の公式）と対称式・三次方程式の例題【大学受験 数学Ⅱ】

解と係数の関係｜α+β=−b/a・αβ=c/a の証明（因数分解・解の公式）と対称式・三次方程式の例題【大学受験 数学Ⅱ】

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大学受験

α+β=−ba,αβ=ca\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\qquad\alpha\beta=\frac{c}{a}

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の2つの解が α, β\alpha,\ \beta

この公式のポイント

  • 解の和は −ba-\dfrac ba、積は ca\dfrac ca。解を求めなくても分かる
  • 本質：ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) を展開して係数をくらべる
  • 対称式（α2+β2\alpha^2+\beta^2 など）は和と積で表せる
  • 和 pp・積 qq の2数は x2−px+q=0x^2-px+q=0 の解
うかるくん

うかるくん

解を求めていないのに、どうして解の和や積が分かるの？

合格先生

合格先生

ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) を展開して、係数をくらべるんだ。それで和と積が出るぞ。

解と係数の関係

二次方程式の2つの解を求めなくても、解の和と積は係数だけから分かります。

二次方程式の解と係数の関係

ax2+bx+c=0 の2つの解を α, β とするとα+β=−ba,αβ=caax^2+bx+c=0\ \text{の2つの解を}\ \alpha,\ \beta\ \text{とすると}\qquad\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\qquad\alpha\beta=\frac{c}{a}

三次方程式では

ax3+bx2+cx+d=0 の解 α,β,γ についてα+β+γ=−ba,αβ+βγ+γα=ca,αβγ=−daax^3+bx^2+cx+d=0\ \text{の解}\ \alpha,\beta,\gamma\ \text{について}\quad\alpha+\beta+\gamma=-\frac ba,\quad\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac ca,\quad\alpha\beta\gamma=-\frac da

証明1：因数分解した形とくらべる（本質）

α, β\alpha,\ \beta が解なら、二次式は a(x−α)(x−β)a(x-\alpha)(x-\beta) と因数分解できます（因数定理）。これを展開すると、

a(x−α)(x−β)=ax2−a(α+β)x+aαβa(x-\alpha)(x-\beta)=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta

もとの ax2+bx+cax^2+bx+c と係数をくらべると、

b=−a(α+β),c=aαβ⟹α+β=−ba,αβ=cab=-a(\alpha+\beta),\quad c=a\alpha\beta\quad\Longrightarrow\quad\alpha+\beta=-\frac ba,\quad\alpha\beta=\frac ca

「解が分かれば因数分解できる」→「展開すれば係数が解で表せる」というのが本質です。三次方程式でも a(x−α)(x−β)(x−γ)a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) を展開して同じように導けます。

証明2：解の公式から直接

α=−b+D2a\alpha=\dfrac{-b+\sqrt D}{2a}、β=−b−D2a\beta=\dfrac{-b-\sqrt D}{2a}（D=b2−4acD=b^2-4ac）とおくと、

α+β=−2b2a=−ba,αβ=(−b)2−(D)24a2=b2−(b2−4ac)4a2=ca\alpha+\beta=\frac{-2b}{2a}=-\frac ba,\qquad\alpha\beta=\frac{(-b)^2-(\sqrt D)^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac ca

（積の計算は和と差の積 (p+q)(p−q)=p2−q2(p+q)(p-q)=p^2-q^2 です）。D<0D<0 で解が虚数のときも、そのまま成り立ちます。

Oαβ軸 x＝3/2（αとβのまん中）α＋β＝3αβ＝3/2y＝2x²−6x＋3＝2(x−α)(x−β)
例題1の y=2x2−6x+3y=2x^2-6x+3。2つの解 α, β\alpha,\ \beta は軸 x=32x=\dfrac32 から左右に同じだけはなれているので、和は 2×32=3=−ba2\times\dfrac32=3=-\dfrac ba

対称式は「和と積」で表せる

α\alpha と β\beta を入れかえても変わらない式（対称式）は、必ず α+β\alpha+\beta と αβ\alpha\beta で表せます。

式和と積で表すと
α2+β2\alpha^2+\beta^2(α+β)2−2αβ(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta
α3+β3\alpha^3+\beta^3(α+β)3−3αβ(α+β)(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)
1α+1β\dfrac1\alpha+\dfrac1\betaα+βαβ\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}
(α−β)2(\alpha-\beta)^2(α+β)2−4αβ(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

大学受験

例題1（式の値）

2x2−6x+3=02x^2-6x+3=0 の2つの解を α, β\alpha,\ \beta とするとき、α2+β2\alpha^2+\beta^2 と α3+β3\alpha^3+\beta^3 の値を求めなさい。

解き方

α+β=3\alpha+\beta=3、αβ=32\alpha\beta=\dfrac32。

α2+β2=9−3=6\alpha^2+\beta^2=9-3=6。α3+β3=27−3⋅32⋅3=27−272=272\alpha^3+\beta^3=27-3\cdot\dfrac32\cdot3=27-\dfrac{27}{2}=\dfrac{27}{2}。

答え　66、272\dfrac{27}{2}

α²αβαββ²αβαβ全体 (α＋β)²＝3²＝9αβ＝3/2 が2つα²＋β²＝9−2×3/2＝6
例題1の α2+β2\alpha^2+\beta^2 を面積で見る。1辺 α+β=3\alpha+\beta=3 の正方形から、面積 αβ=32\alpha\beta=\dfrac32 の長方形2つを除くと 9−3=69-3=6
大学受験

例題2（2数を解とする方程式）

和が 55、積が 33 の2数を解とする二次方程式を1つ作りなさい。

解き方

α, β\alpha,\ \beta を解とする方程式は (x−α)(x−β)=0(x-\alpha)(x-\beta)=0、つまり x2−(α+β)x+αβ=0x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0。

答え　x2−5x+3=0x^2-5x+3=0

大学受験

例題3（解の比）

x2−6x+k=0x^2-6x+k=0 の2つの解の比が 1:21:2 になるような定数 kk を求めなさい。

解き方

解を α, 2α\alpha,\ 2\alpha とすると、和は 3α=63\alpha=6 なので α=2\alpha=2。2つの解は 22 と 44。

積は k=2×4=8k=2\times4=8。

答え　k=8k=8

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

和を ba\dfrac ba とするのは×だ。α+β=−ba\alpha+\beta=-\dfrac ba で、マイナスがつくぞ。

  • 和の符号：α+β=−ba\alpha+\beta=-\dfrac ba（マイナスがつく）。
  • x2x^2 の係数で割り忘れる：a≠1a\neq1 なら必ず aa で割る。
  • 三次方程式の積の符号：αβγ=−da\alpha\beta\gamma=-\dfrac da。

練習問題

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

対称式は、和と積で表してみよう！

  1. 大学受験 x2+3x−5=0x^2+3x-5=0 の解を α, β\alpha,\ \beta とするとき、1α+1β\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta を求めなさい。
    答えと解説を見るα+β=−3\alpha+\beta=-3、αβ=−5\alpha\beta=-5。−3−5=35\dfrac{-3}{-5}=\dfrac35。答え 35\dfrac35
  2. 大学受験 x2−4x+1=0x^2-4x+1=0 の解を α, β\alpha,\ \beta とするとき、α+1, β+1\alpha+1,\ \beta+1 を解とする二次方程式を作りなさい。
    答えと解説を見る和は (α+β)+2=6(\alpha+\beta)+2=6、積は αβ+(α+β)+1=1+4+1=6\alpha\beta+(\alpha+\beta)+1=1+4+1=6。答え x2−6x+6=0x^2-6x+6=0
  3. 大学受験 x3−2x2+3x−4=0x^3-2x^2+3x-4=0 の3つの解の積を求めなさい。
    答えと解説を見るαβγ=−−41=4\alpha\beta\gamma=-\dfrac{-4}{1}=4。答え 44

関連する公式

よくある質問

解と係数の関係とは？

二次方程式 ax²+bx+c=0 の2つの解を α、β とすると、α+β=−b/a、αβ=c/a が成り立つという関係です。

解と係数の関係はどう証明しますか？

ax²+bx+c=a(x−α)(x−β) と因数分解できることから、右辺を展開して係数をくらべると証明できます。解の公式から和と積を計算しても証明できます。

三次方程式の解と係数の関係は？

ax³+bx²+cx+d=0 の解 α、β、γ について、α+β+γ=−b/a、αβ+βγ+γα=c/a、αβγ=−d/a です。

解と係数の関係は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅱ「複素数と方程式」で習います。

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出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅱ（複素数と方程式）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦